对斜率优化的一些个人理解

详细讲解可以去看 这篇，讲的很好，不过太长了（划掉），这里仅文字简要描述斜率优化。

斜率优化主要用来处理一类 dp 问题，形如 \(f_i = k_j\times x+b_j\)。

首先我们要知道什么情况下 \(z\) 比 \(j\) 转移过来更优。

假设求最小值，求最大值同理的，那么求最小值就是要求 \(k_z\times x+b_z < k_j\times x+b_j\)，同时假设 \(k_z > k_j\)

移项后就是 \(x < \frac{b_j-b_z}{k_z-k_j}\)，改一下就是 \(x > \frac{b_z-b_j}{k_z-k_j}\)。

具体问题根据符号不同划出来也会有点小差别，不过影响不大。

这个很有用，之后在求答案时会用到，先记着。

然后我们考虑维护一个下凸包，容易发现非下凸包的点一定不会成为最优转移点。

这个比较容易，但还是说一下原因吧。

在不确定 \(x\) 的情况下，设这三个点分别是 \(x1,y1\)、\(x2,y2\)、\(x3,y3\)，并且第一个和第三个是下凸包的点，第二个在它们中间，同时是非下凸包点。

注意到 \(x > 0\) 时，第三个点下标最大，加的值就少，同时初值也最小，所以最优。

否则若 \(x < 0\)，那么第一个点下标比第二个小，同时初值也比第二个小，一定优与第二个。

那我们有了一个下凸包了，怎么求答案呢？

还记得前面说的吗，由于下凸包斜率单调递增，我们二分找到最后一个斜率不满足 \(x > \frac{b_z-b_j}{k_z-k_j}\) 的，那么这条线的左端点就是我们要的最优决策点。

显然只用看下凸包上相邻两个点的斜率即可，这是因为如果 \(a\) 优于 \(b\)，\(b\) 优与 \(c\)，有传递性 \(a\) 优与 \(c\)。

如果 \(x\) 是单调递增的，由于 \(x\) 单调递增那么前面不优的点后面一定不优，单调队列可以直接弹出队头，所以就是 \(O(n)\) 的。

具体的一些东西还需要根据题目来搞，不过一般的需要注意纵坐标相同的时候，此时斜率为 inf，需要根据题目删去下面的点或者上面的点。