BMT 2025 Calculus Test（10题）详细解析

BMT 2025 Calculus Test（10题） 做逐题详细解析 + 思路讲解 + 技巧总结。尽量用“竞赛思维 + 可教学方式”来讲。

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第1题

( f(x)=x^2-11x+31 )，求满足 ( f(a)=f'(a) ) 的两个实数 (a<b)，求 (10a+b)

步骤1：求导

[
f'(x)=2x-11
]

步骤2：列方程

[
x^2-11x+31 = 2x-11
]

整理：
[
x^2-13x+42=0
]

步骤3：解方程

[
(x-6)(x-7)=0
\Rightarrow a=6,; b=7
]

步骤4：计算

[
10a+b = 10\cdot 6 + 7 = 67
]

✅ 答案：67

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第2题

[
\max_{x>0} \left(\frac{2025x}{\pi}\right)^{\frac{\pi}{2025x}}
]

核心思路：对数化 + 极值

设：
[
y = \left(\frac{2025x}{\pi}\right)^{\frac{\pi}{2025x}}
]

取对数：
[
\ln y = \frac{\pi}{2025x}\ln\left(\frac{2025x}{\pi}\right)
]

设：
[
t = \frac{2025x}{\pi}
]

则：
[
\ln y = \frac{1}{t}\ln t
]

经典极值：

[
f(t)=\frac{\ln t}{t}
]

求导：
[
f'(t)=\frac{1-\ln t}{t^2}
]

令：
[
1-\ln t=0 \Rightarrow t=e
]

代回：

[
y_{\max} = e^{1/e}
]

✅ 答案：(e^{1/e})

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第3题

[
f(x)=\sqrt{3x^2+2x+1},\quad \lim_{x\to\infty} f'(x)
]

求导

[
f'(x)=\frac{6x+2}{2\sqrt{3x^2+2x+1}}=\frac{6x+2}{2\cdot \sqrt{3x^2+2x+1}}
]

提取最高次

[
\sqrt{3x^2+2x+1} \sim \sqrt{3}x
]

所以：
[
f'(x)\sim \frac{6x}{2\sqrt{3}x}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}
]

✅ 答案：(\sqrt{3})

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第4题

[
\lim_{n\to\infty} \left(\frac{2\tan^{{-1}(n)}{\pi}\right)}n
]

关键：

[
\tan^{-1}(n)\to \frac{\pi}{2}
]

展开：
[
\tan^{-1}(n)=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n}+o(1/n)
]

所以：
[
\frac{2\tan^{-1}(n)}{\pi} \approx 1 - \frac{2}{\pi n}
]

经典极限

[
(1-\frac{c}{n})^n \to e^{-c}
]

得到：
[
e^{-2/\pi}
]

✅ 答案：(e^{-2/\pi})

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第5题

[
\int_0^\infty \frac{(-1)^{\lfloor x \rfloor}}{\lceil x \rceil^2 - \lfloor x \rfloor^2} dx
]

区间分割

每个区间 ([n,n+1))：

• (\lfloor x\rfloor=n)
• (\lceil x\rceil=n+1)

分母：
[
(n+1)^2-n2=2n+1
]

积分变为

[
\sum_{n=0}^{\infty} \int_n^{n+1} \frac{(-1)^n}{2n+1} dx
]

区间长度=1：

[
=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}
]

经典结果

[
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac{\pi}{4}
]

✅ 答案：(\frac{\pi}{4})

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第6题

核心：几何分布 + 组合数

概率

掷到非1停止：

[
P(k)=\left(\frac{1}{n}\right)^k\frac{n-1}{n}
]

组合数

[
N=\binom{n}{\min(k,n)}
]

极限分析

当 (n\to\infty)：

• (k) 很小概率最大
• (\binom{n}{k}\sim \frac{n^k}{k!})

期望：
[
E\sim \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = e
]

✅ 答案：(e)

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第7题

圆：
[
x^2+(y-a)2=4a
]

半径：
[
r=2\sqrt{a}
]

关键观察

当 (a\to\infty)：

• 圆心在 (y=a)
• 抛物线 (y=x^2) 很低

👉 圆几乎全部在抛物线上方

极限：
[
f(a)\to 1
]

✅ 答案：1

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第8题

[
\int_0^\infty e^{-2025x} x^k \sin(2025x),dx
]

关键结论（拉普拉斯变换）

符号由：
[
\sin\left(\frac{\pi}{2}(k+1)\right)
]

决定

分析

周期为4：

• (k\equiv 0)：正
• (k\equiv 1)：正
• (k\equiv 2)：负
• (k\equiv 3)：负

👉 正的概率：
[
\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
]

✅ 答案：(\frac{1}{2})

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第9题

这是一个路径积分 + 变分思想问题。

核心技巧

将：
[
\sum f(d_k,d_{k+1})
]

看作积分近似：

[
\int_{-2}^3 (a^3-4a),da
]

计算

[
\int (a^3-4a) da = \frac{a^4}{4}-2a2
]

代入：

[
F(3)-F(-2)
]

[
= \left(\frac{81}{4}-18\right) - \left(4-8\right)
= \frac{81}{4}-18+4
= \frac{25}{4}
]

✅ 答案：(\frac{25}{4})

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第10题

[
\int_0^{\pi/2} \ln(\sin^4 x+\cos^4 x),dx
]

关键恒等式

[
\sin^4 x+\cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x\cos^2 x
]

[
= 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)
]

技巧：对称性 + 已知积分

结果为经典结论：

[
-\frac{\pi}{2}\ln 2
]

✅ 答案：(-\frac{\pi}{2}\ln 2)

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✅ 最终答案汇总

题号	答案
1	67
2	(e^{1/e})
3	(\sqrt{3})
4	(e^{-2/\pi})
5	(\frac{\pi}{4})
6	(e)
7	1
8	(\frac{1}{2})
9	(\frac{25}{4})
10	(-\frac{\pi}{2}\ln 2)

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⭐ 提升建议（竞赛关键点）

这套题核心考察：

• 极限近似（泰勒 / 等价无穷小）
• 对数化处理（指数极值）
• 分段积分思想
• 经典级数（(\pi/4)、(e)）
• Laplace 变换符号判断
• 连续化思想（离散 → 积分）

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