CCF GESP C++题解

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题目一：B4002 [GESP202406 ] 平方之和

题目链接： https://www.luogu.com.cn/problem/B4002

题目描述

小杨有 \(n\) 个正整数 \(a_1, a_2, \dots, a_n\)，他想知道对于所有的 \(i(1 \le i \le n)\)，是否存在两个正整数 \(x\) 和 \(y\) 满足 \(x \times x + y \times y = a_i\)。如果存在输出 Yes，否则输出 No。

输入格式

• 第一行包含一个正整数 \(n\)
• 第二行包含 \(n\) 个正整数 \(a_1, a_2, \dots, a_n\)

输出格式

对于每个 \(a_i\)，输出一行，如果存在满足条件的 \(x\) 和 \(y\) 输出 Yes，否则输出 No。

输入输出样例

输入 #1

5
1 2 3 4 5

输出 #1

No
Yes
No
No
Yes

说明：

• \(1\)：无法表示为两个正整数的平方和
• \(2 = 1^2 + 1^2\)：Yes
• \(3\)：无法表示
• \(4\)：无法表示（\(2^2 + 0^2\) 不满足，因为 \(y\) 必须是正整数）
• \(5 = 1^2 + 2^2\)：Yes

数据范围

• \(1 \le n \le 10\)
• \(1 \le a_i \le 10^6\)

解题思路

单层循环优化（推荐）
只枚举 \(x\)，令 \(y^2 = a_i - x^2\)，然后判断 \(a_i - x^2\) 是否是完全平方数。时间复杂度 \(O(n\sqrt{a_i})\)。

C++ 代码实现

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    while (n--) {
        int a;
        cin >> a;
        bool found = false;
        
        // 枚举 x，x^2 必须小于 a（因为 y 至少为 1）
        for (int x = 1; x * x < a; x++) {
            int rest = a - x * x;  // y^2 的值
            int y = sqrt(rest);     // 开方取整
            
            // 检查 rest 是否是完全平方数
            if (y * y == rest) {
                found = true;
                break;
            }
        }
        
        cout << (found ? "Yes" : "No") << endl;
    }
    
    return 0;
}

关键点：

1. \(x\) 的范围是 \(1\) 到 \(\sqrt{a-1}\)，确保 \(y \ge 1\)
2. 使用 int y = sqrt(rest) 后，必须验证 y * y == rest 来判断是否为完全平方数
3. 注意数据类型，sqrt 返回浮点数，转为 int 后会截断小数部分

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题目二：B4007 [GESP202406 ] 计数

题目链接： https://www.luogu.com.cn/problem/B4007

题目描述

小杨认为自己的幸运数是正整数 \(k\)（\(1 \le k \le 9\)）。他想知道，对于从 \(1\) 到 \(n\) 的所有正整数中，\(k\) 出现了多少次。

输入格式

• 第一行包含一个正整数 \(n\)
• 第二行包含一个正整数 \(k\)

输出格式

输出从 \(1\) 到 \(n\) 的所有正整数中，\(k\) 出现的次数。

输入输出样例

输入 #1

25
2

输出 #1

9

说明： 从 \(1\) 到 \(25\) 中，\(2\) 出现的正整数有 \(2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25\)，一共出现了 \(9\) 次（注意 \(22\) 中有两个 \(2\)，算两次）。

数据范围

• \(1 \le n \le 1000\)
• \(1 \le k \le 9\)

解题思路

遍历 \(1\) 到 \(n\) 的每个整数，对每个整数进行拆位处理（逐位检查），统计其中等于 \(k\) 的数字个数。

拆位方法：

• 通过 num % 10 获取最低位
• 通过 num / 10 去掉最低位
• 循环直到数字变为 \(0\)

C++ 代码实现

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    
    int count = 0;  // 统计出现次数
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int num = i;  // 使用临时变量保存 i，避免修改循环变量
        
        // 拆位：逐位检查数字
        while (num != 0) {
            int digit = num % 10;  // 取出最低位
            if (digit == k) {
                count++;           // 找到一位 k，计数器加 1
            }
            num /= 10;             // 去掉最低位
        }
    }
    
    cout << count << endl;
    
    return 0;
}

关键点：

1. 必须使用临时变量 num = i，不能直接对 i 进行操作，否则会影响外层循环
2. 注意是统计每一位出现的次数，不是统计包含 \(k\) 的数字个数（例如 \(22\) 算两次）
3. 数据范围很小（\(n \le 1000\)），直接枚举即可

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总结对比

题目	题目链接	核心考点	算法思路	时间复杂度
B4002 平方之和	https://www.luogu.com.cn/problem/B4002	循环嵌套、数学判断	枚举 + 完全平方数判断	\(O(n\sqrt{a})\)
B4007 计数	https://www.luogu.com.cn/problem/B4007	拆位技巧、循环遍历	枚举 + 逐位分解	\(O(n \times \text{位数})\)