L1范数（基追踪） vs L2范数（最小二乘） 对比复现（Matlab）

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% 压缩感知：L1范数（基追踪） vs L2范数（最小二乘） 对比复现
% 前置条件：安装Matlab CVX工具箱（用于求解L1凸优化问题）
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%% 1. 生成模拟数据（符合压缩感知假设）
clear; clc; close all; % 清理工作区、命令行、关闭旧绘图窗口

% 定义核心参数
m = 128; % 观测向量维度（低维）
n = 256; % 原始信号维度（高维），满足m < n（欠定问题）
sparsity_ratio = 0.1; % 原始信号稀疏度（10%非零元素）

% 生成高斯随机观测矩阵A（满足RIP条件，保证稀疏恢复可行）
A = randn(m, n);

% 生成原始稀疏信号u（sprandn生成稀疏正态分布向量）
u = sprandn(n, 1, sparsity_ratio);

% 生成观测向量b（理想无噪声场景，b = A*u）
b = A * u;

%% 2. 求解两种恢复方法的解
% 方法1：L2范数解（最小二乘法，处理欠定问题，用伪逆求解）
% 欠定问题（m < n）有无穷多解，L2范数最小的解为pinv(A)*b（稠密解）
u_l2 = pinv(A) * b;

% 方法2：L1范数解（基追踪，最小化L1范数，满足观测约束，稀疏解）
% 依赖CVX工具箱，若未安装请先安装CVX
cvx_begin quiet % quiet：关闭CVX运行日志输出，更简洁
variable u_l1(n) % 定义优化变量（待恢复的稀疏信号）
minimize( norm(u_l1, 1) ) % 目标函数：最小化L1范数（保证稀疏性）
subject to % 约束条件：满足观测方程，无噪声理想场景
A * u_l1 == b;
cvx_end

%% 3. 量化评估恢复效果（打印关键指标）
fprintf('==================== 恢复效果评估 ====================\n');
% 原始信号稀疏度
u_sparsity = nnz(u) / n;
fprintf('原始信号稀疏度：%.2f%%\n', u_sparsity * 100);

% L1恢复结果：相对误差 + 稀疏度
l1_error = norm(u_l1 - u) / norm(u);
l1_sparsity = nnz(abs(u_l1) > 1e-3) / n; % 1e-3：过滤数值计算微小误差
fprintf('L1范数恢复 - 相对误差：%.4e | 稀疏度：%.2f%%\n', l1_error, l1_sparsity * 100);

% L2恢复结果：相对误差 + 稀疏度
l2_error = norm(u_l2 - u) / norm(u);
l2_sparsity = nnz(abs(u_l2) > 1e-3) / n;
fprintf('L2范数恢复 - 相对误差：%.4e | 稀疏度：%.2f%%\n', l2_error, l2_sparsity * 100);

%% 4. 可视化对比（生成三张对比子图，复现目标效果）
figure('Position', [100, 100, 800, 600]); % 设定绘图窗口大小，更清晰

% 子图1：原始稀疏信号u
subplot(3, 1, 1);
stem(u, 'b.', 'MarkerSize', 8);
title('(a) 原始稀疏信号 u', 'FontSize', 12);
xlabel('信号索引', 'FontSize', 10);
ylabel('信号幅值', 'FontSize', 10);
xlim([1, n]); % 固定x轴范围，三张图保持一致
grid on; grid minor; % 添加网格，更易观察非零元素位置

% 子图2：L1范数恢复信号u_l1
subplot(3, 1, 2);
stem(u_l1, 'r.', 'MarkerSize', 8);
title('(b) L_1范数恢复信号（基追踪）', 'FontSize', 12);
xlabel('信号索引', 'FontSize', 10);
ylabel('信号幅值', 'FontSize', 10);
xlim([1, n]);
grid on; grid minor;

% 子图3：L2范数恢复信号u_l2
subplot(3, 1, 3);
stem(u_l2, 'g.', 'MarkerSize', 8);
title('(c) L_2范数恢复信号（最小二乘）', 'FontSize', 12);
xlabel('信号索引', 'FontSize', 10);
ylabel('信号幅值', 'FontSize', 10);
xlim([1, n]);
grid on; grid minor;

% 强制刷新绘图窗口，确保图像正常显示
drawnow;