最全、最清晰、C++的 lower_bound / upper_bound 总结

最全、最清晰的 lower_bound / upper_bound 总结，包含：

✔ 功能解释（通俗 + STL 定义）
✔ 返回值含义
✔ 典型代码例子
✔ 在竞赛中的常用技巧
✔ 与 equal_range 的关系
✔ 可视化图示

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🔵 1. lower_bound / upper_bound 是什么？

它们是 STL 中的 二分查找算法，要求区间 有序（非降序）。

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🔶 2. lower_bound

✔ 定义

iterator lower_bound(iterator first, iterator last, const T& value)

✔ 作用

找到第一个 ≥ value 的位置。

✔ 返回值

• 返回指向 第一个 ≥ value 的迭代器
• 如果不存在，则返回 last

✔ 举例

vector<int> v = {1,2,4,4,4,7,9};
auto it = lower_bound(v.begin(), v.end(), 4);
// it 指向第一个 4（下标 2）

视觉化：

索引:   0 1 2 3 4 5 6
值:     1 2 4 4 4 7 9
                 ↑
lower_bound(v, 4) = index 2

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🔶 3. upper_bound

✔ 定义

iterator upper_bound(iterator first, iterator last, const T& value)

✔ 作用

找到第一个 > value 的位置。

✔ 返回值

• 返回指向 第一个 > value 的迭代器
• 如果不存在，则返回 last

✔ 举例

auto it = upper_bound(v.begin(), v.end(), 4);
// it 指向 7（下标 5）

视觉化：

索引:   0 1 2 3 4 5 6
值:     1 2 4 4 4 7 9
                     ↑
upper_bound(v, 4) = index 5

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🔵 4. lower_bound 与 upper_bound 的总结表

函数名	找到的位置
lower_bound(a,a+n,x)	第一个 ≥ x 的元素
upper_bound(a,a+n,x)	第一个 > x 的元素

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🔵 5. 典型用法：查找元素出现次数

int cnt = upper_bound(v.begin(), v.end(), x) 
        - lower_bound(v.begin(), v.end(), x);

例如：v = {1,2,4,4,4,7,9}

查 4：

lower_bound = index 2
upper_bound = index 5
出现次数 = 5 - 2 = 3

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🔵 6. 典型竞赛用法

✔ (1) 在有序数组中插入某个值的位置

int pos = lower_bound(a, a+n, x) - a;

✔ (2) 二分查找某个区间内的数量

如查询 (L, R] 区间内有多少个数字：

cnt = upper_bound(v.begin(), v.end(), R)
    - upper_bound(v.begin(), v.end(), L);

✔ (3) LIS（最长上升子序列）

LIS 模板里就是用 lower_bound 找替换位置。

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🔵 7. equal_range = lower_bound + upper_bound

auto p = equal_range(v.begin(), v.end(), x);
// p.first  = lower_bound
// p.second = upper_bound

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🔵 8. 在 set / multiset 中也能用 lower_bound / upper_bound

例如：

set<int> s = {1, 3, 5, 7};
auto it = s.lower_bound(4);  // 指向 5

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