C++ 中的 **普通筛、埃氏筛、线性筛**，它们都是求质数或判断质数的方法

普通筛、埃氏筛、线性筛，它们都是求质数或判断质数的方法，但原理和复杂度不同。

1️⃣ 普通筛（暴力判断质数）

思路：

• 对每个数 i（2 ≤ i ≤ n），判断它是否能被小于它的数整除。
• 如果不能整除，则 i 是质数。

复杂度：

• 最坏情况下 O(n√n)，当 n 较大时效率低。

C++ 示例：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

bool isPrime(int x) {
    if (x < 2) return false;
    for (int i = 2; i * i <= x; ++i)
        if (x % i == 0) return false;
    return true;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (isPrime(i)) cout << i << " ";
    }
    return 0;
}

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2️⃣ 埃氏筛（Sieve of Eratosthenes）

思路：

1. 建立长度为 n 的布尔数组 is_prime，初始都为 true。
2. 从 2 开始，若 i 是质数，则把 i 的所有倍数标记为非质数。
3. 最终 is_prime[i] 为 true 的就是质数。

复杂度：

• O(n log log n)
• 对 n ≤ 10⁷ 或 10⁸ 都够用。

C++ 示例：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<bool> is_prime(n+1, true);
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;

    for (int i = 2; i*i <= n; ++i) {
        if (is_prime[i]) {
            for (int j = i*i; j <= n; j += i)
                is_prime[j] = false;
        }
    }

    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (is_prime[i]) cout << i << " ";
    }

    return 0;
}

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3️⃣ 线性筛（Linear Sieve / 欧拉筛）

特点：

• 保证每个合数只被它最小的质因子标记一次。
• 可以顺序生成质数数组 primes。
• 复杂度 O(n)（比埃氏筛更快）。

思路：

1. 遍历每个数 i（2 ≤ i ≤ n）

2. 如果 i 是质数，加入 primes 数组

3. 遍历 primes 数组：

   • 计算 i * primes[j] ≤ n
   • 标记 i * primes[j] 为非质数
   • 如果 i % primes[j] == 0，则 break（保证每个数只被它最小的质因子标记一次）

C++ 示例：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> primes;
    vector<bool> is_prime(n+1, true);

    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (is_prime[i]) primes.push_back(i);
        for (int p : primes) {
            if (i * p > n) break;
            is_prime[i*p] = false;
            if (i % p == 0) break;
        }
    }

    for (int p : primes) cout << p << " ";
    return 0;
}

特点对比：

筛法	时间复杂度	优点	缺点
普通筛	O(n√n)	代码简单	n 大时慢
埃氏筛	O(n log log n)	高效，易实现	不能直接获取最小质因子
线性筛	O(n)	高效，可求最小质因子	实现稍复杂

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下面是一张“一图看懂”三种筛法的对比演示。

n = 30 时的筛法遍历轨迹（✅ 保留，❌ 划掉）

下标： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
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普通筛
  i=2 ✅ → 把 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 全划 ❌
  i=3 ✅ → 把 6 9 12 15 18 21 24 27 30 全划 ❌（6/12/18/24/30 被重复划）
  i=4 已 ❌
  i=5 ✅ → 把 10 15 20 25 30 全划 ❌（又重复）
  ……
  每个合数会被它所有质因子各划一次 → 多次标记

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埃氏筛
  i=2 ✅ → 从 2²=4 开始，步长 2：4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 ❌
  i=3 ✅ → 从 3²=9 开始，步长 3：9 12 15 18 21 24 27 30 ❌（12/18/24/30 虽重复，但起点高，总量减半）
  i=4 已 ❌
  i=5 ✅ → 从 5²=25 开始，步长 5：25 30 ❌
  ……
  每个合数只被它的「最大质因子」划一次 → 仍可能重复，但少很多

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线性筛（欧拉筛）
  外层 i 从 2→30
  i=2 ✅ → 划 2×2=4 ❌
  i=3 ✅ → 划 3×2=6 ❌, 3×3=9 ❌
  i=4 ❌ → 划 4×2=8 ❌（4%2==0 立即 break，不再划 4×3=12）
  i=5 ✅ → 划 5×2=10 ❌, 5×3=15 ❌, 5×5=25 ❌
  i=6 ❌ → 划 6×2=12 ❌（6%2==0 break，不再划 6×3=18）
  ……
每个合数只被它最小的质因子标记一次。

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结果（30 以内质数）
✅ 保留：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
π(30) = 10

把上图转成记忆口诀
普通筛：见质数就狂划所有倍，重复无妨。
埃氏筛：从平方开始划，省一半。
线性筛：一遇整除就刹车，每个合数只被最小质因子划一次，真正线性。

⚠️备注：
下面把你提供的内容进一步整理成 更简洁、严谨、适合讲解或考试使用的版本，方便你在课上或材料中使用。

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✅ 最大质因子（Greatest Prime Factor, GPF）

定义：
一个正整数的所有质因子（prime factors）中 最大的那个质数，称为它的最大质因子。

注意：

• 质因子只看质数。
• 重复因子不影响最大值（比如 12 的 2 出现两次也不影响答案）。

例 1：12

分解：
[
12 = 2 \times 2 \times 3
]
质因子集合 = {2, 3}
最大质因子 = 3

例 2：100

[
100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5
]
质因子集合 = {2, 5}
最大质因子 = 5

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✅ 最小质因数（Smallest Prime Factor, SPF）

定义：
一个正整数的所有质因子中 最小的那个质数，称为它的最小质因数。

例 1：12

质因子集合 = {2, 3}
最小质因数 = 2

例 2：100

质因子集合 = {2, 5}
最小质因数 = 2

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🔍 二者对比总结

概念	含义	示例（n=100）
最大质因子	所有质因子中最大的质数	5
最小质因数	所有质因子中最小的质数	2

• 最大质因子 = 分解中出现的最大质数
• 最小质因数 = 分解中出现的最小质数

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