概率与数理统计公式及结论汇总 from 黄老师

概率与数理统计公式及结论汇总

一、随机事件及其概率

1. 基本等式
   • $A\cup \Omega =\Omega$
   • $A\cap \Omega =A$
2. 吸收律
   • $A\cup \varnothing =A$
   • $A\cap \varnothing =\varnothing$
   • $A\cup (AB)=A$
   • $A\cap (A\cup B)=A$
3. 差事件公式
   • A−B=AB=A−(AB)
4. 反演律（德摩根定律）
   • A∪B=AB
   • AB=A∪B
   • ⋃i=1n​Ai​​=⋂i=1n​Ai​​
   • ⋂i=1n​Ai​​=⋃i=1n​Ai​​

二、概率的定义及其计算

1. 对立事件概率
   • P(A)=1−P(A)
2. 子集概率关系
   • 若$A\subset B$，则$P(B)\ge P(A)$（原文档中 “$I(B)-P(A)$” 应为笔误，修正为概率单调性结论）
3. 加法公式
   • 对任意两个事件$A$、$B$：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
   • 推论：$P(A\cup B)\le P(A)+P(B)$
   • 多事件一般形式：P(⋃i=1n​Ai​)=∑i=1n​P(Ai​)−∑1≤i<j≤n​P(Ai​Aj​)+∑1≤i<j<k≤n​P(Ai​Aj​Ak​)+⋯+(−1)n−1P(A1​A2​⋯An​)

三、条件概率相关公式

1. 条件概率定义
   • P(B∣A)=P(A)P(AB)​（其中$P(A)>0$）
2. 乘法公式
   • 两事件：$P(AB)=P(A)P(B|A)$（$P(A)>0$）
   • 多事件：P(A1​A2​⋯An​)=P(A1​)P(A2​∣A1​)⋯P(An​∣A1​A2​⋯An−1​)（P(A1​A2​⋯An−1​)>0）
3. 全概率公式
   • 若B1​,B2​,⋯,Bn​是样本空间$\Omega$的一个划分（互斥且穷尽），则对任意事件$A$：P(A)=∑i=1n​P(ABi​)=∑i=1n​P(Bi​)⋅P(A∣Bi​)
4. 贝叶斯（Bayes）公式
   • 若B1​,B2​,⋯,Bn​是样本空间$\Omega$的一个划分，且$P(A)>0$，P(Bi​)>0（$i=1,2,\cdots ,n$），则：P(Bk​∣A)=P(A)P(ABk​)​=∑i=1n​P(Bi​)P(A∣Bi​)P(Bk​)P(A∣Bk​)​（$k=1,2,\cdots ,n$）

四、随机变量及其分布

1. 分布函数性质与计算
   • 分布函数定义：$F(x)=P(X\le x)$（$-\infty <x<+\infty$）
   • 概率计算：$P(a<X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a)=F(b)-F(a)$

五、离散型随机变量

1. 0-1 分布
   • 概率分布：P(X=k)=pk(1−p)1−k，其中$k=0,1$，$0<p<1$（$p$为事件成功概率）
2. 二项分布$B(n,p)$
   • 背景：$n$次独立重复试验，每次试验成功概率为$p$，$X$表示成功次数
   • 概率分布：P(X=k)=Cnk​pk(1−p)n−k，其中$k=0,1,\cdots ,n$，$0<p<1$
3. 泊松（Poisson）定理与泊松分布
   • 泊松定理：若limn→∞​npn​=λ>0，则对任意非负整数$k$：limn→∞​Cnk​pnk​(1−pn​)n−k=e−λk!λk​
   • 泊松分布概率：P(X=k)=e−λk!λk​，其中$k=0,1,2,\cdots$，$\lambda >0$（常用于近似二项分布，当$n$大、$p$小时）

六、连续型随机变量

1. 均匀分布$U(a,b)$
   • 概率密度函数：其他
   • 分布函数：F(x)=⎩⎨⎧​0,b−ax−a​,1,​x<aa≤x<bb≤x​
2. 指数分布$E(\lambda )$
   • 概率密度函数：其他（$\lambda >0$，为速率参数）
   • 分布函数：F(x)={0,1−e−λx,​x<0x≥0​（$\lambda >0$）
3. 正态分布N(μ,σ2)
   • 概率密度函数：f(x)=2π​σ1​e−2σ2(x−μ)2​（$-\infty <x<+\infty$，$\mu$为均值，$\sigma >0$为标准差）
   • 分布函数：F(x)=2π​σ1​∫−∞x​e−2σ2(t−μ)2​dt（$-\infty <x<+\infty$）
4. 标准正态分布$N(0,1)$（正态分布的特殊情况，$\mu =0$，$\sigma =1$）
   • 概率密度函数：φ(x)=2π​1​e−2x2​（$-\infty <x<+\infty$）
   • 分布函数：Φ(x)=2π​1​∫−∞x​e−2t2​dt（$-\infty <x<+\infty$），且满足$\Phi (-x)=1-\Phi (x)$

七、多维随机变量及其分布（以二维为例）

1. 二维随机变量$(X,Y)$的分布函数（联合分布函数）
   • F(x,y)=∫−∞x​∫−∞y​f(u,v)dvdu（$-\infty <x,y<+\infty$，$f(u,v)$为联合概率密度函数）
2. 边缘分布函数与边缘密度函数
   • $X$的边缘分布函数：FX​(x)=∫−∞x​∫−∞+∞​f(u,v)dvdu（即$F(x,+\infty )$）
   • $X$的边缘概率密度函数：fX​(x)=∫−∞+∞​f(x,v)dv
   • $Y$的边缘分布函数：FY​(y)=∫−∞y​∫−∞+∞​f(u,v)dudv（即$F(+\infty ,y)$）
   • $Y$的边缘概率密度函数：fY​(y)=∫−∞+∞​f(u,y)du

八、常见连续型二维随机变量

1. 区域$G$上的均匀分布$U(G)$
   • 联合概率密度函数：其他（$A$为区域$G$的面积）
2. 二维正态分布
   • 联合概率密度函数：f(x,y)=2πσ1​σ2​1−ρ2​1​e−2(1−ρ2)1​[σ12​(x−μ1​)2​−2ρσ1​σ2​(x−μ1​)(y−μ2​)​+σ22​(y−μ2​)2​]（原文档公式尾部缺失，补充完整），其中μ1​,μ2​为均值，σ1​>0,σ2​>0为标准差，$\rho$为相关系数（$|\rho |\le 1$）

九、二维随机变量的条件分布

1. 条件概率密度函数关系
   • 联合密度与条件密度：f(x,y)=fX​(x)fY∣X​(y∣x)（fX​(x)>0）；f(x,y)=fY​(y)fX∣Y​(x∣y)（fY​(y)>0）
   • 边缘密度与条件密度：fX​(x)=∫−∞+∞​f(x,y)dy=∫−∞+∞​fX∣Y​(x∣y)fY​(y)dy；fY​(y)=∫−∞+∞​f(x,y)dx=∫−∞+∞​fY∣X​(y∣x)fX​(x)dx
2. 条件概率密度公式
   • fX∣Y​(x∣y)=fY​(y)f(x,y)​=fY​(y)fY∣X​(y∣x)fX​(x)​（fY​(y)>0）
   • fY∣X​(y∣x)=fX​(x)f(x,y)​=fX​(x)fX∣Y​(x∣y)fY​(y)​（fX​(x)>0）

十、随机变量的数字特征

1. 数学期望（均值）
   • 离散型随机变量：E(X)=∑k=1+∞​xk​pk​（xk​为取值，pk​=P(X=xk​)，要求级数绝对收敛）
   • 连续型随机变量：E(X)=∫−∞+∞​xf(x)dx（$f(x)$为概率密度，要求积分绝对收敛）
2. 常用矩（数字特征的基础）
   • $X$的$k$阶原点矩：E(Xk)
   • $X$的$k$阶绝对原点矩：E(∣X∣k)
   • $X$的$k$阶中心矩：E((X−E(X))k)
   • $X$与$Y$的$k+l$阶混合原点矩：E(XkYl)
   • $X$与$Y$的$k+l$阶混合中心矩：E((X−E(X))k(Y−E(Y))l)
   • $X$与$Y$的二阶混合原点矩：$E(XY)$
   • $X$与$Y$的二阶混合中心矩：协方差$cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))$
3. 方差（二阶中心矩，衡量离散程度）
   • 定义式：D(X)=E{[X−E(X)]2}
   • 计算式：D(X)=E(X2)−[E(X)]2（更易计算，需先求$E(X)$和E(X2)）
4. 协方差（衡量两变量线性相关程度）
   • 定义式：$cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))$
   • 计算式 1：$cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$
   • 计算式 2：cov(X,Y)=±21​(D(X±Y)−D(X)−D(Y))（可根据$D(X+Y)$或$D(X-Y)$推导）
5. 相关系数（标准化的协方差，消除量纲影响）
   • 定义式：ρXY​=D(X)​D(Y)​cov(X,Y)​（其中$D(X)>0$，$D(Y)>0$）
   • 性质：∣ρXY​∣≤1；∣ρXY​∣=1的充要条件是存在常数$a,b$（a=0），使得$P(Y=aX+b)=1$（即两变量线性相关）