概率论与数理统计所有公式 from 黄老师 2025.09.05 （一文找尽所有公式）

概率与数理统计公式及结论汇总

一、随机事件及其概率

1. 基本等式

   • \(A \cup \Omega=\Omega\)
   • \(A \cap \Omega=A\)

2. 吸收律

   • \(A \cup \emptyset=A\)
   • \(A \cap \emptyset=\emptyset\)
   • \(A \cup(AB)=A\)
   • \(A \cap(A \cup B)=A\)

3. 差事件公式

   • \(A - B=A \overline{B}=A-(AB)\)

4. 反演律（德摩根定律）

   • \(\overline{A \cup B}=\overline{A} \overline{B}\)
   • \(\overline{AB}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
   • \(\overline{\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}}=\bigcap_{i=1}^{n} \overline{A_{i}}\)
   • \(\overline{\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}}=\bigcup_{i=1}^{n} \overline{A_{i}}\)

二、概率的定义及其计算

1. 对立事件概率

   • \(P(\overline{A})=1 - P(A)\)

2. 子集概率关系

   • 若\(A \subset B\)，则\(P(B)\geq P(A)\)（文档中"\(RB\) 令 \(P(B) - P(A)\)"应为笔误，正确关系为概率的单调性）

3. 加法公式

   • 对任意两个事件\(A\)、\(B\)，有\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)
   • 推论：\(P(A \cup B) \leq P(A)+P(B)\)
   • 一般形式（多事件加法公式）：
     \[P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)-\sum_{1 \leq i<j \leq n} P\left(A_{i}A_{j}\right)+\sum_{1 \leq i<j<k \leq n} P\left(A_{i}A_{j}A_{k}\right)+\cdots+(-1)^{n-1} P\left(A_{1}A_{2} \cdots A_{n}\right)\]

三、条件概率相关公式

1. 条件概率定义

   • \(P(B | A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\)（其中\(P(A)>0\)）

2. 乘法公式

   • 两事件：\(P(AB)=P(A)P(B | A)\)（\(P(A)>0\)）
   • 多事件：\(P\left(A_{1}A_{2} \cdots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right)P\left(A_{2} | A_{1}\right) \cdots P\left(A_{n} | A_{1}A_{2} \cdots A_{n-1}\right)\)（\(P\left(A_{1}A_{2} \cdots A_{n-1}\right)>0\)）

3. 全概率公式

   • 若\(B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}\)是样本空间\(\Omega\)的一个划分（互斥且穷尽），则对任意事件\(A\)，有\(P(A)=\sum_{i=1}^{n} P\left(AB_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(B_{i}\right) \cdot P\left(A | B_{i}\right)\)

4. 贝叶斯（Bayes）公式

   • 若\(B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}\)是样本空间\(\Omega\)的一个划分，且\(P(A)>0\)，\(P(B_{i})>0\)（\(i = 1,2,\cdots,n\)），则\(P\left(B_{k} | A\right)=\frac{P\left(AB_{k}\right)}{P(A)}=\frac{P\left(B_{k}\right)P\left(A | B_{k}\right)}{\sum_{i=1}^{n} P\left(B_{i}\right)P\left(A | B_{i}\right)}\)（\(k = 1,2,\cdots,n\)）

四、随机变量及其分布

1. 分布函数性质与计算
   • 分布函数定义：\(F(x)=P(X \leq x)\)（\(-\infty < x < +\infty\)）
   • 概率计算：\(P(a < X \leq b)=P(X \leq b)-P(X \leq a)=F(b)-F(a)\)

五、离散型随机变量

1. 0-1分布

   • 概率分布：\(P(X = k)=p^{k}(1-p)\)，其中\(k = 0,1\)，\(0 < p < 1\)（\(p\)为事件成功概率）

2. 二项分布\(B(n, p)\)

   • 背景：\(n\)次独立重复试验，每次试验成功概率为\(p\)，\(X\)表示成功次数
   • 概率分布：\(P(X = k)=C_{n}^{k}p(1-p)^{n-k}\)，其中\(k = 0,1,\cdots,n\)，\(0 < p < 1\)

3. 泊松（Poisson）定理与泊松分布

   • 泊松定理：若\(\lim_{n \to \infty} np_{n}=\lambda>0\)，则对任意非负整数\(k\)，有\(\lim_{n \to \infty} C_{n}^{k}p_{n}(1-p_{n})^{n-k}=e\frac{\lambda^{k}}{k!}\)
   • 泊松分布概率：\(P(X = k)=e^{{-\lambda}\frac{\lambda}{k}}{k!}\)，其中\(k = 0,1,2,\cdots\)，\(\lambda>0\)（常用于近似二项分布，当\(n\)大、\(p\)小时）

六、连续型随机变量

1. 均匀分布\(U(a, b)\)

   • 概率密度函数：(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}, & a < x < b \ 0, & \text{其他}\end{cases})
   • 分布函数：\(F(x)=\begin{cases}0, & x < a \ \frac{x-a}{b-a}, & a \leq x < b \ 1, & b \leq x\end{cases}\)

2. 指数分布\(E(\lambda)\)

   • 概率密度函数：(f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \ 0, & \text{其他}\end{cases})（\(\lambda>0\)，为速率参数）
   • 分布函数：\(F(x)=\begin{cases}0, & x < 0 \ 1 - e^{-\lambda x}, & x \geq 0\end{cases}\)（\(\lambda>0\)）

3. 正态分布\(N(\mu, \sigma^{2})\)

   • 概率密度函数：\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{{-\frac{(x-\mu)}{2}}{2\sigma^{2}}}\)（\(-\infty < x < +\infty\)，\(\mu\)为均值，\(\sigma>0\)为标准差）
   • 分布函数：\(F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e{-\frac{(t-\mu)^{2}}{2\sigma{2}}}dt\)（\(-\infty < x < +\infty\)）

4. 标准正态分布\(N(0,1)\)（正态分布的特殊情况，\(\mu = 0\)，\(\sigma = 1\)）

   • 概率密度函数：\(\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x{2}}{2}}\)（\(-\infty < x < +\infty\)）
   • 分布函数：\(\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e{-\frac{t^{2}}{2}}dt\)（\(-\infty < x < +\infty\)），且满足\(\Phi(-x)=1 - \Phi(x)\)

七、多维随机变量及其分布（以二维为例）

1. 二维随机变量\((X, Y)\)的分布函数（联合分布函数）

   • \(F(x,y)=\int_{-\infty}^{{x}\int_{-\infty}}f(u,v)dvdu\)（\(-\infty < x, y < +\infty\)，\(f(u,v)\)为联合概率密度函数）

2. 边缘分布函数与边缘密度函数

   • \(X\)的边缘分布函数：\(F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{{x}\int_{-\infty}}f(u,v)dvdu\)（即\(F(x, +\infty)\)）
   • \(X\)的边缘概率密度函数：\(f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,v)dv\)
   • \(Y\)的边缘分布函数：\(F_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{{y}\int_{-\infty}}f(u,v)dudv\)（即\(F(+\infty, y)\)）
   • \(Y\)的边缘概率密度函数：\(f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(u,y)du\)

八、常见连续型二维随机变量

1. 区域\(G\)上的均匀分布\(U(G)\)

   • 联合概率密度函数：(f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{A}, & (x,y) \in G \ 0, & \text{其他}\end{cases})（\(A\)为区域\(G\)的面积）

2. 二维正态分布

   • 联合概率密度函数：
     \[f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^{2}}}e{2(1-\rho^{{2})}\left[\frac{(x-\mu_{1})}{2}}{\sigma_{1}^{{2}}-2\rho\frac{(x-\mu_{1})(y-\mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}}+\frac{(y-\mu_{2})}{2}}{\sigma_{2}^{2}}\right]}\]
     其中\(\mu_{1},\mu_{2}\)为均值，\(\sigma_{1}>0,\sigma_{2}>0\)为标准差，\(\rho\)为相关系数（\(|\rho| \leq 1\)）

九、二维随机变量的条件分布

1. 条件概率密度函数关系

   • 联合密度与条件密度：\(f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y|X}(y|x)\)（\(f_{X}(x)>0\)）；\(f(x,y)=f_{Y}(y)f_{X|Y}(x|y)\)（\(f_{Y}(y)>0\)）
   • 边缘密度与条件密度：\(f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{{+\infty}f(x,y)dy=\int_{-\infty}}f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)dy\)；\(f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{{+\infty}f(x,y)dx=\int_{-\infty}}f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x)dx\)

2. 条件概率密度公式

   • \(f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}=\frac{f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}\)（\(f_{Y}(y)>0\)）
   • \(f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}=\frac{f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)}{f_{X}(x)}\)（\(f_{X}(x)>0\)）

十、随机变量的数字特征

1. 数学期望（均值）

   • 离散型随机变量：\(E(X)=\sum_{k=1}^{+\infty}x_{k}p_{k}\)（\(x_{k}\)为取值，\(p_{k}=P(X = x_{k})\)，要求级数绝对收敛）
   • 连续型随机变量：\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)（\(f(x)\)为概率密度，要求积分绝对收敛）

2. 常用矩（数字特征的基础）

   • \(X\)的\(k\)阶原点矩：\(E(X^{k})\)
   • \(X\)的\(k\)阶绝对原点矩：\(E(|X|^{k})\)
   • \(X\)的\(k\)阶中心矩：\(E((X-E(X))^{k})\)
   • \(X\)与\(Y\)的\(k+l\)阶混合原点矩：\(E(X^{k}Y)\)
   • \(X\)与\(Y\)的\(k+l\)阶混合中心矩：\(E((X-E(X))^{k}(Y-E(Y)))\)
   • \(X\)与\(Y\)的二阶混合原点矩：\(E(XY)\)
   • \(X\)与\(Y\)的二阶混合中心矩：协方差\(\text{cov}(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))\)

3. 方差（二阶中心矩，衡量离散程度）

   • 定义式：\(D(X)=E\left[(X-E(X))^{2}\right]\)
   • 计算式：\(D(X)=E(X^{2})-[E(X)]\)（更易计算，需先求\(E(X)\)和\(E(X^{2})\)）

4. 协方差（衡量两变量线性相关程度）

   • 定义式：\(\text{cov}(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))\)
   • 计算式1：\(\text{cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)
   • 计算式2：\(\text{cov}(X,Y)=\frac{1}{2}[D(X+Y)-D(X)-D(Y)]\)

5. 相关系数（标准化的协方差，消除量纲影响）

   • 定义式：\(\rho_{XY}=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}\)（其中\(D(X)>0\)，\(D(Y)>0\)）
   • 性质：\(|\rho_{XY}| \leq 1\)；\(|\rho_{XY}| = 1\)的充要条件是存在常数\(a, b\)（\(a \neq 0\)），使得\(P(Y = aX + b)=1\)（即两变量线性相关）