概率论与数理统计所有公式 from 黄老师 （一文找尽所有公式）

概率与数理统计公式及结论汇总

一、随机事件及其概率

  1. 基本等式
    • \(A \cup \Omega=\Omega\)
    • \(A \cap \Omega=A\)
  2. 吸收律
    • \(A \cup \emptyset=A\)
    • \(A \cap \emptyset=\emptyset\)
    • \(A \cup(A B)=A\)
    • \(A \cap(A \cup B)=A\)
  3. 差事件公式
    • \(A - B=A \overline{B}=A-(A B)\)
  4. 反演律（德摩根定律）
    • \(\overline{A \cup B}=\overline{A} \overline{B}\)
    • \(\overline{A B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
    • \(\overline{\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}}=\bigcap_{i=1}^{n} \overline{A_{i}}\)
    • \(\overline{\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}}=\bigcup_{i=1}^{n} \overline{A_{i}}\)

二、概率的定义及其计算

  1. 对立事件概率
    • \(P(\overline{A})=1 - P(A)\)
  2. 子集概率关系
    • 若\(A \subset B\)，则\(P(B)\geq P(A)\)（文档中“\(I(B)-P(A)\)”应为笔误，正确关系为概率的单调性）
  3. 加法公式
    • 对任意两个事件\(A\)、\(B\)，有\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A B)\)
    • 推论：\(P(A \cup B) \leq P(A)+P(B)\)
    • 一般形式（多事件加法公式）：\(P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)-\sum_{1 \leq i<j \leq n} P\left(A_{i} A_{j}\right)+\sum_{1 \leq i<j<k \leq n} P\left(A_{i} A_{j} A_{k}\right)+\cdots+(-1)^{n - 1} P\left(A_{1} A_{2} \cdots A_{n}\right)\)

三、条件概率相关公式

  1. 条件概率定义
    • \(P(B | A)=\frac{P(A B)}{P(A)}\)（其中\(P(A)>0\)）
  2. 乘法公式
    • 两事件：\(P(A B)=P(A) P(B | A)\)（\(P(A)>0\)）
    • 多事件：\(P\left(A_{1} A_{2} \cdots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2} | A_{1}\right) \cdots P\left(A_{n} | A_{1} A_{2} \cdots A_{n - 1}\right)\)（\(P\left(A_{1} A_{2} \cdots A_{n - 1}\right)>0\)）
  3. 全概率公式
    • 若\(B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}\)是样本空间\(\Omega\)的一个划分（互斥且穷尽），则对任意事件\(A\)，有\(P(A)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A B_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(B_{i}\right) \cdot P\left(A | B_{i}\right)\)
  4. 贝叶斯（Bayes）公式
    • 若\(B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}\)是样本空间\(\Omega\)的一个划分，且\(P(A)>0\)，\(P(B_{i})>0\)（\(i = 1,2,\cdots,n\)），则\(P\left(B_{k} | A\right)=\frac{P\left(A B_{k}\right)}{P(A)}=\frac{P\left(B_{k}\right) P\left(A | B_{k}\right)}{\sum_{i=1}^{n} P\left(B_{i}\right) P\left(A | B_{i}\right)}\)（\(k = 1,2,\cdots,n\)）

四、随机变量及其分布

  1. 分布函数性质与计算
    • 分布函数定义：\(F(x)=P(X \leq x)\)（\(-\infty < x < +\infty\)）
    • 概率计算：\(P(a < X \leq b)=P(X \leq b)-P(X \leq a)=F(b)-F(a)\)

五、离散型随机变量

  1. 0-1分布
    • 概率分布：\(P(X = k)=p^{k}(1 - p)^{1 - k}\)，其中\(k = 0,1\)，\(0 < p < 1\)（\(p\)为事件成功概率）
  2. 二项分布\(B(n, p)\)
    • 背景：\(n\)次独立重复试验，每次试验成功概率为\(p\)，\(X\)表示成功次数
    • 概率分布：\(P(X = k)=C_{n}^{k} p^{k}(1 - p)^{n - k}\)，其中\(k = 0,1,\cdots,n\)，\(0 < p < 1\)
  3. 泊松（Poisson）定理与泊松分布
    • 泊松定理：若\(\lim_{n \to \infty} n p_{n}=\lambda>0\)，则对任意非负整数\(k\)，有\(\lim_{n \to \infty} C_{n}^{k} p_{n}^{k}\left(1 - p_{n}\right)^{n - k}=e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k!}\)
    • 泊松分布概率：\(P(X = k)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k!}\)，其中\(k = 0,1,2,\cdots\)，\(\lambda>0\)（常用于近似二项分布，当\(n\)大、\(p\)小时）

六、连续型随机变量

  1. 均匀分布\(U(a, b)\)
    • 概率密度函数：(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b - a}, & a < x < b \ 0, & 其他\end{cases})
    • 分布函数：\(F(x)=\begin{cases}0, & x < a \ \frac{x - a}{b - a}, & a \leq x < b \ 1, & b \leq x\end{cases}\)
  2. 指数分布\(E(\lambda)\)
    • 概率密度函数：(f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \ 0, & 其他\end{cases})（\(\lambda>0\)，为速率参数）
    • 分布函数：\(F(x)=\begin{cases}0, & x < 0 \ 1 - e^{-\lambda x}, & x \geq 0\end{cases}\)（\(\lambda>0\)）
  3. 正态分布\(N(\mu, \sigma^{2})\)
    • 概率密度函数：\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}\)（\(-\infty < x < +\infty\)，\(\mu\)为均值，\(\sigma>0\)为标准差）
    • 分布函数：\(F(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(t - \mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} dt\)（\(-\infty < x < +\infty\)）
  4. 标准正态分布\(N(0,1)\)（正态分布的特殊情况，\(\mu = 0\)，\(\sigma = 1\)）
    • 概率密度函数：\(\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e{-\frac{x{2}}{2}}\)（\(-\infty < x < +\infty\)）
    • 分布函数：\(\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} e{-\frac{t{2}}{2}} dt\)（\(-\infty < x < +\infty\)），且满足\(\Phi(-x)=1 - \Phi(x)\)

七、多维随机变量及其分布（以二维为例）

  1. 二维随机变量\((X, Y)\)的分布函数（联合分布函数）
    • \(F(x, y)=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u, v) dv du\)（\(-\infty < x, y < +\infty\)，\(f(u, v)\)为联合概率密度函数）
  2. 边缘分布函数与边缘密度函数
    • \(X\)的边缘分布函数：\(F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u, v) dv du\)（即\(F(x, +\infty)\)）
    • \(X\)的边缘概率密度函数：\(f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, v) dv\)
    • \(Y\)的边缘分布函数：\(F_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u, v) du dv\)（即\(F(+\infty, y)\)）
    • \(Y\)的边缘概率密度函数：\(f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(u, y) du\)

八、常见连续型二维随机变量

  1. 区域\(G\)上的均匀分布\(U(G)\)
    • 联合概率密度函数：(f(x, y)=\begin{cases}\frac{1}{A}, & (x, y) \in G \ 0, & 其他\end{cases})（\(A\)为区域\(G\)的面积）
  2. 二维正态分布
    • 联合概率密度函数：\(f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1 - \rho^{2}}} e^{-\frac{1}{2\left(1 - \rho^{2}\right)}\left[\frac{\left(x - \mu_{1}\right){2}}{\sigma_{1}{2}} - 2 \rho \frac{\left(x - \mu_{1}\right)\left(y - \mu_{2}\right)}{\sigma_{1} \sigma_{2}}+\frac{\left(y - \mu_{2}\right){2}}{\sigma_{2}{2}}\right]}\)（文档中公式尾部缺失，此处补充完整），其中\(\mu_{1},\mu_{2}\)为均值，\(\sigma_{1}>0,\sigma_{2}>0\)为标准差，\(\rho\)为相关系数（\(|\rho| \leq 1\)）

九、二维随机变量的条件分布

  1. 条件概率密度函数关系
    • 联合密度与条件密度：\(f(x, y)=f_{X}(x) f_{Y | X}(y | x)\)（\(f_{X}(x)>0\)）；\(f(x, y)=f_{Y}(y) f_{X | Y}(x | y)\)（\(f_{Y}(y)>0\)）
    • 边缘密度与条件密度：\(f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) dy=\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X | Y}(x | y) f_{Y}(y) dy\)；\(f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) dx=\int_{-\infty}^{+\infty} f_{Y | X}(y | x) f_{X}(x) dx\)
  2. 条件概率密度公式
    • \(f_{X | Y}(x | y)=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}=\frac{f_{Y | X}(y | x) f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}\)（\(f_{Y}(y)>0\)）
    • \(f_{Y | X}(y | x)=\frac{f(x, y)}{f_{X}(x)}=\frac{f_{X | Y}(x | y) f_{Y}(y)}{f_{X}(x)}\)（\(f_{X}(x)>0\)）

十、随机变量的数字特征

  1. 数学期望（均值）
    • 离散型随机变量：\(E(X)=\sum_{k=1}^{+\infty} x_{k} p_{k}\)（\(x_{k}\)为取值，\(p_{k}=P(X = x_{k})\)，要求级数绝对收敛）
    • 连续型随机变量：\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx\)（\(f(x)\)为概率密度，要求积分绝对收敛）
  2. 常用矩（数字特征的基础）
    • \(X\)的\(k\)阶原点矩：\(E(X^{k})\)
    • \(X\)的\(k\)阶绝对原点矩：\(E(|X|^{k})\)
    • \(X\)的\(k\)阶中心矩：\(E((X - E(X))^{k})\)
    • \(X\)与\(Y\)的\(k + l\)阶混合原点矩：\(E(X^{k} Y^{l})\)
    • \(X\)与\(Y\)的\(k + l\)阶混合中心矩：\(E\left((X - E(X))^{k}(Y - E(Y))^{l}\right)\)
    • \(X\)与\(Y\)的二阶混合原点矩：\(E(X Y)\)
    • \(X\)与\(Y\)的二阶混合中心矩：协方差\(cov(X, Y)=E((X - E(X))(Y - E(Y)))\)
  3. 方差（二阶中心矩，衡量离散程度）
    • 定义式：\(D(X)=E\left{[X - E(X)]^{2}\right}\)
    • 计算式：\(D(X)=E(X{2})-[E(X)]\)（更易计算，需先求\(E(X)\)和\(E(X^{2})\)）
  4. 协方差（衡量两变量线性相关程度）
    • 定义式：\(cov(X, Y)=E((X - E(X))(Y - E(Y)))\)
    • 计算式1：\(cov(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y)\)
    • 计算式2：\(cov(X, Y)=\pm \frac{1}{2}(D(X \pm Y)-D(X)-D(Y))\)（可根据\(D(X + Y)\)或\(D(X - Y)\)推导）
  5. 相关系数（标准化的协方差，消除量纲影响）
    • 定义式：\(\rho_{X Y}=\frac{cov(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}\)（其中\(D(X)>0\)，\(D(Y)>0\)）
    • 性质：\(|\rho_{X Y}| \leq 1\)；\(|\rho_{X Y}| = 1\)的充要条件是存在常数\(a, b\)（\(a \neq 0\)），使得\(P(Y = a X + b)=1\)（即两变量线性相关）
posted @ 2025-09-05 16:03  kkman2000  阅读(60)  评论(0)    收藏  举报