经典分布速查表

“经典分布速查表”拆成 3 个层次来讲：

1. 每个分布的“来龙去脉”——它是怎么被抽象出来的？
2. 期望、方差的推导——用定义硬算一次，让你记住一辈子。
3. 一张“地图”——把 6 个分布串到一条时间轴上，看到它们其实是同一故事的不同章节。

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一、0-1 分布（Bernoulli）——一切离散分布的“原子”

模型 一次试验，成功 1 概率 p，失败 0 概率 1-p。
推导
E[X] = 1·p + 0·(1-p) = p
Var(X) = E[X²] – (E[X])² = 1²·p – p² = p(1-p)

记忆口诀 “一次就定型，方差 pq 永不变”。

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二、二项分布 B(n,p)——n 个独立 Bernoulli 的和

模型 X = X₁+…+Xₙ，Xᵢ ~ Bernoulli(p) 且独立。
推导
期望线性性 ⇒ E[X] = n p
独立性和方差可加 ⇒ Var(X) = n p(1-p)

几何意义 直方图随 n 增大逐渐对称，CLT 告诉我们会走向正态。

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三、泊松分布 P(λ)——“稀有事件”的极限

构造方式 把二项推到“n→∞, p→0, np=λ 固定”的极限：

P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}
→ e^{-λ} λ^k / k! （用 lim(1-λ/n)^n = e^{-λ}）

期望推导
E[X] = Σ k·e^{-λ}λk/k!
= λ e^{-λ} Σ λ^{k-1}/(k-1)! = λ

方差推导
先算 E[X(X-1)] = λ² ⇒ E[X²] = λ²+λ
⇒ Var(X) = λ

记忆口诀 “泊松均值方差肩并肩，都是 λ”。

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四、均匀分布 U(a,b)——“毫无偏好”的连续版

密度 f(x)=1/(b-a), a<x<b
期望
E[X] = ∫_a^b x/(b-a) dx = (a+b)/2
方差
E[X²] = ∫_a^b x²/(b-a) dx = (b³-a³)/[3(b-a)] = (a²+ab+b²)/3
Var = E[X²] – (E[X])² = (b-a)²/12

几何解释 方差只与区间长度平方成正比，与位置无关。

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五、指数分布 Exp(λ)——“永驻青春”的无记忆

密度 f(x)=λ e^{-λx}, x≥0
期望
E[X] = ∫_0^∞ x λ e^{-λx} dx
= 1/λ （分部积分或查伽马函数 Γ(2)=1!）
方差
E[X²] = ∫_0^∞ x² λ e^{-λx} dx = 2/λ²
⇒ Var = 2/λ² – (1/λ)² = 1/λ²

无记忆性 P(X>s+t | X>s) = P(X>t)，唯一连续分布具备此性质。

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六、正态分布 N(μ,σ²)——CLT 的终极归宿

密度 f(x)=1/(√(2π)σ) exp{-(x-μ)²/(2σ²)}
期望 由对称性一眼看出 μ。
方差 硬算：

令 Z=(X-μ)/σ ~ N(0,1)
Var(X) = σ² E[Z²]
E[Z²] = ∫ z² φ(z)dz = 1 （因为 φ 是标准正态密度，且 E[Z²]=Var(Z)=1）

故 Var(X)=σ²

中心极限定理 任意“方差有限”的独立同分布和，标准化后都走向 N(0,1)。
推论 二项、泊松、Γ、χ² 等大样本下都可被正态近似。

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七、一张“地图”——6 分布的同一条故事线

时间轴视角：

1. 0-1 分布：一次试验的“原子事件”。
2. 把 n 个 0-1 相加 → 二项分布。
3. 让 n→∞, p→0, np=λ → 泊松分布。
4. 把“离散时间”改成“连续时间”，等待第 1 次成功 → 指数分布。
5. 指数再推广到“等待第 k 次成功” → Gamma(α=k,λ)，当 k 很大时 → 正态（CLT）。
6. 任意“误差叠加” → 正态分布。

因此：
0-1 → 二项 → 泊松 → 指数 → Gamma → 正态
是“同一随机过程”在不同尺度下的肖像。

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八、20 秒速记表（考试前 5 分钟扫一眼）

分布	记号	期望	方差	一句人话
0-1	B(1,p)	p	pq	一次成败
二项	B(n,p)	np	npq	n 次成败计数
泊松	P(λ)	λ	λ	稀有事件计数
均匀	U(a,b)	(a+b)/2	(b-a)²/12	连续毫无偏好
指数	Exp(λ)	1/λ	1/λ²	寿命、等待时间
正态	N(μ,σ²)	μ	σ²	误差叠加极限

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九、最后 3 句话

1. 期望都是“物理重心”，方差都是“转动惯量”——把数学当成力学，一辈子不会忘。
2. 任何新分布先问三句话：支撑集？概率归一？期望方差？这三步走完，题目已解一半。
3. 记住“极限”这条主线：0-1 → 二项 → 泊松 → 正态，所有近似公式不过是把这条线在某个刻度截断。

祝你下次见到任何分布，都能在 5 秒内说出它的“期望、方差、典型场景”。