信息学-数学基础： 数论

📌 题目背景

知识点：

若 (x=x_0) 是多项式
[
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x+\dots+a_1x+a_0
]
的一个根，则 (x-x_0) 必为 (f(x)) 的一个因式。
换句话说，可以写成 (f(x)=(x-x_0)\cdot q(x))，其中 (q(x)) 是 (n-1) 次多项式。

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🎯 任务

用上面的知识点，把下面两个三次多项式 分解因式：

1. (x^3-7x+6)
2. (x^3+x2+4)

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1️⃣ 分解 (x^3-7x+6)

① 找根

根据 有理根定理，可能的有理根是常数项 6 的因数：
[
\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6
]

逐个代入：

• (f(1)=1-7+6=0) ⇒ (x=1) 是根！

② 用综合除法（或长除法）除以 (x-1)

把 (x^3-7x+6) 除以 ((x-1))：

        x² + x - 6
      -----------------
x-1 | x³ + 0x² - 7x + 6
      -(x³ - x²)
      ------------
            x² - 7x
          -(x² -  x)
          ----------
              -6x + 6
            -(-6x + 6)
            -----------
                  0

得到商：((x^2+x-6))

③ 继续分解二次式

[
x^2+x-6=(x+3)(x-2)
]

④ 最终结果

[
\boxed{x^3-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)}
]

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2️⃣ 分解 (x^3+x2+4)

① 找根

同样，有理根可能是 (\pm1,\ \pm2,\ \pm4)：

• (f(-1)=-1+1+4=4\neq0)
• (f(-2)=-8+4+4=0) ⇒ (x=-2) 是根！

② 用综合除法除以 (x+2)

把 (x^3+x2+4) 除以 ((x+2))：

        x² - x + 2
      -----------------
x+2 | x³ + x² + 0x + 4
      -(x³ + 2x²)
      ------------
           -x² + 0x
          -(-x² - 2x)
          ----------
                2x + 4
              -(2x + 4)
              ---------
                    0

得到商：((x^2-x+2))

③ 检查二次式是否可继续分解

计算判别式：
[
\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot2=1-8=-7<0
]
无实根，不可再分解成一次因式。

④ 最终结果

[
\boxed{x^3+x2+4=(x+2)(x^2-x+2)}
]

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✅ 总结答案

多项式	因式分解结果
(x^3-7x+6)	((x-1)(x-2)(x+3))
(x3+x2+4)	((x+2)(x^2-x+2))

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💡 小技巧回顾

• 先 试根（有理根定理）
• 再 综合除法 降次
• 最后 继续分解 二次式（看判别式）