图论，重心问题

在图论中，树的重心是树上的一个结点，以该结点为根时，使得其所有的子树中结点数最多的子树的结点数最少。一棵树可能有多个重心。请问下面哪种树一定只有一个重心？

A. 4 个结点的树
B. 6 个结点的树
C. 7 个结点的树
D. 8 个结点的树

问题重述

在图论中，树的重心定义为：

以该结点为根时，其所有子树中结点数最多的那棵子树的结点数最小。
一棵树可以有 0、1 或 2 个重心（不可能超过 2）。题目问：
下面哪种树“一定”只有一个重心？

选项	总结点数
A	4
B	6
C	7
D	8

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关键结论

• 当且仅当树的总结点数 n 为奇数时，必然存在唯一重心。
• 若 n 为偶数，则 可能 出现 1 个或 2 个重心（取决于具体结构）。

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逐项验证

选项	n	奇偶性	是否“一定”唯一重心
A	4	偶数	❌（可以有两个重心）
B	6	偶数	❌（可以有两个重心）
C	7	奇数	✅
D	8	偶数	❌（可以有两个重心）

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直观解释

• 7 个结点 ⇒ 去掉重心后，各子树大小 ≤ ⌊7/2⌋ = 3，无法分成两块 恰好 3+3；因此重心唯一。
• 4/6/8 个结点 ⇒ 可以构造出对称的“哑铃”结构，出现两个重心（各子树大小 n/2）。

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✅ 最终答案

C. 7 个结点的树