n 是图的顶点个数，m 是图的边的个数,比较时间复杂度

1.

假设 n 是图的顶点个数，m 是图的边的个数。为求解某一问题，有下面四种不同时间复杂度的算法。对于 m = Θ(n) 的稀疏图而言，下面的四个选项，哪一项的渐近时间复杂度最小？

A. O(m√log n · log log n)
B. O(n² + m)
C. O(n² / log m + m log n)
D. O(m + n log n)

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2. 把“稀疏图”条件翻译成数学式

题目给出 m = Θ(n)，即
m ≤ c·n ，其中 c 为某个正常数。
于是所有 m 都可以直接用 n 来替换，不会影响渐近阶。

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3. 把每个选项里的 m 全部替换成 n

选项	原始表达式	代入 m = Θ(n) 后
A	O(m√log n · log log n)	O(n√log n · log log n)
B	O(n² + m)	O(n²)
C	O(n² / log m + m log n)	O(n² / log n + n log n)
D	O(m + n log n)	O(n log n)

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4. 比较四个结果

• A：n√log n · log log n → 比 n·poly(log n) 略大，但远小于 n²。
• B：n²
• C：两项取大者
  • n² / log n
  • n log n
    在 n→∞ 时，n² / log n 支配 → Θ(n² / log n)
• D：n log n

把四条曲线按增长速度排序：

n log n < n√log n log log n < n² / log n < n²

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5. 结论

对于稀疏图 m = Θ(n)，选项 D 的渐近时间复杂度 O(n log n) 最小。

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6. 一句话总结

在稀疏图 (m = Θ(n)) 的条件下，四个算法中 D 选项 O(m + n log n) 的渐近时间复杂度最小。