最长公共子序列长度题解

识别的题目文字

“最长公共子序列长度常常用来衡量两个序列的相似度。其定义如下：给定两个序列 \(X=x_1,x_2,\dots,x_m\) 和 \(Y=y_1,y_2,\dots,y_n\)，最长公共子序列（LCS）问题的目标是找到一个最长的新序列 \(Z=z_1,z_2,\dots,z_k\)，使得序列 \(Z\) 既是序列 \(X\) 的子序列，又是序列 \(Y\) 的子序列，且序列 \(Z\) 的长度 \(k\) 在满足上述条件的序列里是最大的。（注：序列 \(A\) 是序列 \(B\) 的子序列，当且仅当在保持序列 \(B\) 元素顺序的情况下，从序列 \(B\) 中删除若干个元素，可以使得剩余的元素构成序列 \(A\)。）
则序列 ABCAAAABA 和 ABABCBABA 的最长公共子序列长度为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7”

详细分析与讲解

设 \(X=\) ABCAAAABA，\(Y=\) ABABCBABA。
用经典 DP：\(dp[i][j]\) 表示 \(X[1..i]\) 与 \(Y[1..j]\) 的 LCS 长度。

• 若 \(X_i=Y_j\)，则 \(dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1\)；
• 否则 \(dp[i][j]=\max(dp[i-1][j],\,dp[i][j-1])\)；
• 边界：第一行/列为 0。时间复杂度 \(O(mn)\)。

把两串按行列填表（行是 X，列是 Y）可得：

      A  B  A  B  C  B  A  B  A
A |   1  1  1  1  1  1  1  1  1
B |   1  2  2  2  2  2  2  2  2
C |   1  2  2  2  3  3  3  3  3
A |   1  2  3  3  3  3  4  4  4
A |   1  2  3  3  3  3  4  4  5
A |   1  2  3  3  3  3  4  4  5
A |   1  2  3  3  3  3  4  4  5
B |   1  2  3  4  4  4  4  5  5
A |   1  2  3  4  4  4  5  5  6  ← 答案

右下角为 6，因此 LCS 长度是 6。构造出一条可行的最长公共子序列，例如
ABAABA：

• 在 \(X=\) ABCAAAABA 中可取下标 \(1,2,4,5,8,9\) → A B A A B A；
• 在 \(Y=\) ABABCBABA 中可取下标 \(1,2,3,7,8,9\) → A B A A B A。

为什么不是 7？
从字符计数上看，上界是 \(\min(A)=4\) + \(\min(B)=2\) + \(\min(C)=1\) = 7，但受顺序约束限制达不到：
\(Y\) 中的 C 位于两段 “AB…AB” 之间（…表示 C 前后严格的顺序），而 \(X\) 在 C 之后只有 一个 B，无法同时满足 C 后还要匹配两次 B 与足够的 A 的顺序需求，故无法达到 7。

正确选项：C. 6。