CSP初赛-哈夫曼树

题目一：

字母表 {a, b, c, d, e} 的频率分别为 10%，15%，30%，16%，29%。若使用哈夫曼编码方式对字母进行不定长的二进制编码，字母 d 的编码长度（ ）位。

选项：
A. 1
B. 2
C. 2 或 3
D. 3

题目二：

字符 {a, b, c, d, e, f} 的频率分别为 5%, 9%, 12%, 13%, 16%, 45%。请问以下哪个选项是字符 a、b、c、d、e、f 分别对应的一组哈夫曼编码?

选项：
A. 1111, 1110, 101, 100, 110, 0
B. 1010, 1001, 1000, 011, 010, 00
C. 000, 001, 010, 011, 10, 11
D. 1010, 1011, 110, 111, 00, 01

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这里的“前缀无冲突”，就是在说前缀码（prefix-free code）：
对任意两个不同的码字 \(x\neq y\)，都不允许 \(x\) 是 \(y\) 的前缀。这样解码时，从左到右读比特，一旦读到某个码字，就能立刻确定对应字符并输出（不用再看后面的比特）——这叫即时可译（instantaneous decoding）。

为什么要“前缀无冲突”？

• 即时解码：读到叶子（完整码字）就停，输出一个字符，继续从根读下一段，比特流可在线逐个符号解出。
• 避免歧义：如果存在前缀关系，解码器在读到短码字时就会犹豫：这是一个完整符号，还是更长码字的开头？这会导致需要回看/前瞻，甚至可能造成不唯一解码。

用你题里的选项 A 来看

选项 A（按 a,b,c,d,e,f 顺序）：
1111, 1110, 101, 100, 110, 0
它的长度分别是：a=4, b=4, c=3, d=3, e=3, f=1。检查“前缀无冲突”只需看有没有码字是另一码字的前缀：

• 0 的后面有没有以 0 开头的更长码字？没有（其它都以 1 开头或先导为 1）。
• 以 1 开头的三位码：100,101,110 之间互不为彼此前缀；四位码 1110,1111 也互不为前缀；三位码也不是四位码的前缀（后三位不同）。
  因此它是前缀码，解码时一旦读到 0 就立刻输出 f；读到 1110 就立刻输出 b，等等，毫不含糊。

（顺便一提，哈夫曼算法总是产出前缀码；哈夫曼树里，只有叶子结点才对应码字，内部结点不会对应码字，这正是“前缀无冲突”的结构性保证。）

形象理解（用二叉树/字典树）

把每个码字当作从根出发：读 0 走左，读 1 走右。
“前缀无冲突” ⇔ 所有码字都在叶子上，且没有一个码字停在别的码字之上（即没有码字对应内部结点）。
一旦走到叶子就输出字符并回到根，继续读后面的比特。

一个“有冲突”的反例

假设有码集合 {0, 01, 111}：

• 这里 0 是 01 的前缀。
• 当比特流是 01... 时，读到第一个 0，你不敢立刻输出，因为它也可能是更长的 01 的开头；这就不是即时的。更糟的是，在某些集合里还会引起不唯一解码（存在多种切分方式得到不同字符串）。

快速检查方法

• 排序/逐对检查：看是否存在“短码字 = 长码字的前缀”。

• Trie（字典树）法：把码字插入一棵二叉 Trie，插入过程中若：

  1. 走到一个已经是“叶（已作为码字终止）”的结点还想继续往下走，或
  2. 刚把当前结点标为“叶”，却发现它已有子结点，
     就说明存在前缀冲突。

额外小知识：Kraft 等式

对二进制前缀码，长度集合 \(\{l_i\}\) 必满足 Kraft 不等式
\(\sum 2^{-l_i} \le 1\)。
选项 A 的长度是 $ {4,4,3,3,3,1}\(，计算 \)\tfrac{1}{16}+\tfrac{1}{16}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{2} = 1$，
等号成立，说明这是一棵“满”的前缀码树，也从侧面验证了“前缀无冲突”。

第一题：字母d的哈夫曼编码长度

要确定字母d的编码长度，需遵循哈夫曼编码的核心步骤（合并最小频率节点），具体过程如下：

步骤1：整理频率（按从小到大排序）

• a: 10%，b: 15%，d: 16%，e: 29%，c: 30%

步骤2：逐步合并最小频率节点

1. 第一次合并：最小的两个频率（a:10% + b:15%）= 25%，新节点为25%。
   剩余节点：d:16%，25%（a+b），e:29%，c:30%。
2. 第二次合并：最小的两个频率（d:16% + 25%）= 41%，新节点为41%。
   剩余节点：e:29%，c:30%，41%（d+a+b）。
3. 第三次合并：最小的两个频率（e:29% + c:30%）= 59%，新节点为59%。
   剩余节点：41%（d+a+b），59%（e+c）。
4. 第四次合并：41% + 59% = 100%，完成树的构建。

步骤3：确定d的编码长度

在哈夫曼树中，每个叶子节点的编码长度等于其到根节点的路径长度（左支为0、右支为1，或反之，不影响长度）。d在第二次合并中作为叶子节点，路径需经过2个分支，因此编码长度为2位。

答案：B

第二题：字符abcdef的哈夫曼编码验证

关键前提

1. 哈夫曼编码是前缀编码（任一编码不是其他编码的前缀）；
2. 频率最高的字符编码最短，频率最低的编码最长（频率：f:45% > e:16% > d:13% > c:12% > b:9% > a:5%，对应编码长度应递减）。

选项逐一排除

• 选项A：编码为1111(a)、1110(b)、101(c)、100(d)、110(e)、0(f)
  验证：①前缀性：无编码是其他编码的前缀；②长度匹配：f(1位，最高频) > e(3位)、d(3位)、c(3位) > b(4位)、a(4位，最低频)，符合频率-长度递减关系。暂符合。

• 选项B：编码为1010(a)、1001(b)、1000(c)、011(d)、010(e)、00(f)
  验证：频率最高的f编码为2位，但e(16%)编码也为2位（与f相同），且d(13%)、c(12%)编码也为3位（与b、a的4位差距不匹配频率递减），不符合“最高频编码最短”原则。排除。

• 选项C：编码为000(a)、001(b)、010(c)、011(d)、10(e)、11(f)
  验证：频率最高的f编码为2位，但e(16%)编码也为2位（与f相同），且最低频的a、b编码为3位（应最长），但d(13%)、c(12%)编码也为3位（与a、b相同），不符合频率-长度对应关系。排除。

• 选项D：编码为1010(a)、1011(b)、110(c)、111(d)、00(e)、01(f)
  验证：频率最高的f编码为2位，但e(16%)编码也为2位（与f相同），且d(13%)、c(12%)编码为3位（应短于a、b的4位，符合），但“最高频f未获得最短编码（1位）”，不符合哈夫曼编码逻辑。排除。

答案：A

答案：

1）关于 {a,b,c,d,e} 频率 10%、15%、30%、16%、29%，字母 d 的哈夫曼码长度：
合并过程：10+15→25；再 16+25→41；再 29+30→59；最后 41+59→100。
得到叶深度：a=3，b=3，c=2，d=2，e=2。
⇒ 选 B. 2

2）{a,b,c,d,e,f} 频率 5%、9%、12%、13%、16%、45% 的一组哈夫曼编码：
合并：5+9=14；12+13=25；14+16=30；25+30=55；45+55=100。
叶深度可为：a=4，b=4，c=3，d=3，e=3，f=1。
在选项中，只有 A（a,b,c,d,e,f 对应 1111,1110,101,100,110,0）满足该长度分配且前缀无冲突。
⇒ 选 A