同时求最值（min 和 max）时如何把比较次数压到最少

这道题是经典题 —— 同时求最值（min 和 max）时如何把比较次数压到最少。下面给出清晰的算法、举例演示，并给出**下界（最少比较次数）**的证明思路，最后确定正确选项 B（\(3n-2\)）。

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题目回顾

要在 \(2n\) 个数中同时找出最大值和最小值，问最少比较次数。

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最优算法（配对法）——步骤与复杂度推导

1. 配对比较：把 \(2n\) 个数任意分成 \(n\) 对，每对内部比较一次，得到每对的“较大者（winner）”和“较小者（loser）”。
   比较次数：\(n\) 次。

2. 在所有 winners 中找最大值：winners 有 \(n\) 个，求最大需要 \(n-1\) 次比较。
   比较次数：\(n-1\)。

3. 在所有 losers 中找最小值：losers 有 \(n\) 个，求最小需要 \(n-1\) 次比较。
   比较次数：\(n-1\)。

把三部分加起来：

\[\begin{aligned} &\text{总比较次数} = n + (n-1) + (n-1) \\ &= n + n - 1 + n - 1 \\ &= (n+n+n) + (-1-1) \\ &= 3n - 2. \end{aligned} \]

（把 \(2n\) 写成 \(N\) 的形式：总数为 \(N=2n\) 时，比较次数也可写成 \(\tfrac{3}{2}N - 2\)。）

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举例说明（便于理解）

取 \(n=3\)（即共 6 个数），数组为 \([5,2,9,1,7,3]\)。

1. 配对并比较（3 次）：
   (5,2) → winner 5, loser 2
   (9,1) → winner 9, loser 1
   (7,3) → winner 7, loser 3

2. winners = [5,9,7]，找最大：比较 5 与 9（1 次，得 9），再比较 9 与 7（1 次，得 9）→ 共 2 次（即 \(n-1=2\)）。

3. losers = [2,1,3]，找最小：比较 2 与 1（1 次，得 1），再比较 1 与 3（1 次，得 1）→ 共 2 次（即 \(n-1=2\)）。

总比较次数 = \(3 + 2 + 2 = 7\)。代入公式 \(3n-2 = 3\times3 -2 = 9-2 =7\)，一致。

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为什么不能更少？（下界/最优性说明——直观且合理的证明）

• 若有某个元素从未参与任何一次比较，那么算法无法确定它是否可能是最小或最大的元素——因此每个元素至少要参与一次比较。每次比较涉及 2 个元素，所以覆盖全部 \(2n\) 个元素最少需要 \(\lceil 2n/2\rceil = n\) 次比较。换句话说，任意正确算法至少要有 \(n\) 次比较以“触及”所有元素。

• 做完这至少 \(n\) 次比较后，我们可以把参与比较的每对（或经过安排的比较）视为产生了 \(n\) 个 winners 和 \(n\) 个 losers（每对产生一个 winner 和一个 loser）。要从这 \(n\) 个 winners 中确定真正的最大者，最少需要 \(n-1\) 次比较；同理要从这 \(n\) 个 losers 中确定真正的最小者，最少需要 \(n-1\) 次比较。

因此任意算法的比较次数至少为

\[n + (n-1) + (n-1) = 3n - 2. \]

我们给出的配对算法恰好达到这个下界，故是最优的。

（注：这是一种常见且直观的下界证明 —— “必须先让每个元素至少比较一次” 这一步是关键，使得后面的 max/min 搜索各自至少需要 \(n-1\) 次。）

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结论与选项

计算结果为 \(3n-2\)，对应选项 B。

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额外补充（通用情形）

若元素数不是偶数（设总数为 \(N\)），则一般最少比较次数为

\[\left\lceil \tfrac{3N}{2} \right\rceil - 2, \]

偶数 \(N=2n\) 时退化为 \(3n-2\)。

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