最短路径求解

为了求解从节点 \( A \) 到节点 \( E \) 的最短距离，根据给定的边权重（图结构基于提供的边权重描述），需要使用最短路径算法。由于所有权重均为正数，Dijkstra 算法是合适的选择。以下是详细的分析和求解过程。

图结构描述

根据用户提供的边权重，图的节点包括 \( A, B, C, D, E, F, G, H, I \)，边及其权重如下：

• \( A-B = 3 \)
• \( A-F = 6 \)
• \( A-G = 4 \)
• \( B-C = 1 \)
• \( B-H = 7 \)
• \( F-C = 1 \)
• \( F-H = 2 \)
• \( G-C = 2 \)
• \( G-H = 4 \)
• \( C-D = 8 \)
• \( C-I = 9 \)
• \( H-D = 3 \)
• \( H-I = 4 \)
• \( D-E = 5 \)
• \( I-E = 4 \)

目标是从 \( A \) 到 \( E \) 的最短路径。注意，\( E \) 只有两个邻居：\( D \) 和 \( I \)，因此到 \( E \) 的最短距离取决于到 \( D \) 和 \( I \) 的最短距离。

Dijkstra 算法求解

Dijkstra 算法逐步计算从 \( A \) 到所有节点的最短距离。初始化时，设 \( A \) 的距离为 0，其他节点距离为无穷大（用 \( \infty \) 表示）。算法过程如下：

1. 初始化：

   • 距离：\( A: 0 \)，其他节点：\( \infty \)
   • 所有节点标记为未访问。

2. 从 \( A \) 开始（距离 0）：

   • 邻居：\( B, F, G \)
     • 到 \( B \): \( \min(\infty, 0 + 3) = 3 \)
     • 到 \( F \): \( \min(\infty, 0 + 6) = 6 \)
     • 到 \( G \): \( \min(\infty, 0 + 4) = 4 \)
   • 当前距离：\( A: 0 \)（已访问），\( B: 3 \)，\( F: 6 \)，\( G: 4 \)，其他：\( \infty \)
   • 未访问节点中最小距离：\( B: 3 \)（选择访问 \( B \))

3. 访问 \( B \)（距离 3）：

   • 邻居：\( C, H \)（\( A \) 已访问）
     • 到 \( C \): \( \min(\infty, 3 + 1) = 4 \)
     • 到 \( H \): \( \min(\infty, 3 + 7) = 10 \)
   • 当前距离：\( A: 0 \)（已访问），\( B: 3 \)（已访问），\( C: 4 \)，\( F: 6 \)，\( G: 4 \)，\( H: 10 \)，其他：\( \infty \)
   • 未访问节点中最小距离：\( G: 4 \) 和 \( C: 4 \)（选择访问 \( G \)，也可选 \( C \)，结果相同）

4. 访问 \( G \)（距离 4）：

   • 邻居：\( C, H \)（\( A \) 已访问）
     • 到 \( C \): \( \min(4, 4 + 2) = 4 \)（不变）
     • 到 \( H \): \( \min(10, 4 + 4) = 8 \)
   • 当前距离：\( A: 0 \)（已访问），\( B: 3 \)（已访问），\( G: 4 \)（已访问），\( C: 4 \)，\( F: 6 \)，\( H: 8 \)，其他：\( \infty \)
   • 未访问节点中最小距离：\( C: 4 \)（选择访问 \( C \))

5. 访问 \( C \)（距离 4）：

   • 邻居：\( D, I \)（\( B, F, G \) 已连接，但距离更大）
     • 到 \( D \): \( \min(\infty, 4 + 8) = 12 \)
     • 到 \( I \): \( \min(\infty, 4 + 9) = 13 \)
   • 当前距离：\( A: 0 \)（已访问），\( B: 3 \)（已访问），\( G: 4 \)（已访问），\( C: 4 \)（已访问），\( F: 6 \)，\( H: 8 \)，\( D: 12 \)，\( I: 13 \)
   • 未访问节点中最小距离：\( F: 6 \)（选择访问 \( F \))

6. 访问 \( F \)（距离 6）：

   • 邻居：\( C, H \)（\( A \) 已访问）
     • 到 \( C \): \( \min(4, 6 + 1) = 4 \)（不变）
     • 到 \( H \): \( \min(8, 6 + 2) = 8 \)（不变）
   • 无更新。
   • 当前距离：同上
   • 未访问节点中最小距离：\( H: 8 \)（选择访问 \( H \))

7. 访问 \( H \)（距离 8）：

   • 邻居：\( D, I \)（\( B, F, G \) 已连接）
     • 到 \( D \): \( \min(12, 8 + 3) = 11 \)
     • 到 \( I \): \( \min(13, 8 + 4) = 12 \)
   • 当前距离：\( A: 0 \)（已访问），\( B: 3 \)（已访问），\( G: 4 \)（已访问），\( C: 4 \)（已访问），\( F: 6 \)（已访问），\( H: 8 \)（已访问），\( D: 11 \)，\( I: 12 \)
   • 未访问节点中最小距离：\( D: 11 \)（选择访问 \( D \))

8. 访问 \( D \)（距离 11）：

   • 邻居：\( E \)（\( C, H \) 已连接）
     • 到 \( E \): \( \min(\infty, 11 + 5) = 16 \)
   • 当前距离：\( D: 11 \)（已访问），\( I: 12 \)，\( E: 16 \)
   • 未访问节点中最小距离：\( I: 12 \)（选择访问 \( I \))

9. 访问 \( I \)（距离 12）：

   • 邻居：\( E \)（\( C, H \) 已连接）
     • 到 \( E \): \( \min(16, 12 + 4) = 16 \)（不变）
   • 所有节点访问完毕。

最终，从 \( A \) 到 \( E \) 的最短距离为 16。

最短路径分析

从 Dijkstra 算法的结果，最短路径距离为 16。具体路径可以是：

• \( A \to G \to H \to D \to E \): \( 4 + 4 + 3 + 5 = 16 \)
• \( A \to F \to H \to D \to E \): \( 6 + 2 + 3 + 5 = 16 \)
• \( A \to G \to H \to I \to E \): \( 4 + 4 + 4 + 4 = 16 \)
• \( A \to F \to H \to I \to E \): \( 6 + 2 + 4 + 4 = 16 \)

所有可能路径到 \( E \) 的距离均不小于 16：

• \( A \to B \to C \to D \to E \): \( 3 + 1 + 8 + 5 = 17 \)
• \( A \to B \to H \to D \to E \): \( 3 + 7 + 3 + 5 = 18 \)
• \( A \to F \to C \to D \to E \): \( 6 + 1 + 8 + 5 = 20 \)
• \( A \to G \to C \to D \to E \): \( 4 + 2 + 8 + 5 = 19 \)
• \( A \to B \to C \to I \to E \): \( 3 + 1 + 9 + 4 = 17 \)
• \( A \to G \to C \to I \to E \): \( 4 + 2 + 9 + 4 = 19 \)
• \( A \to B \to H \to I \to E \): \( 3 + 7 + 4 + 4 = 18 \)

无任何路径达到选项 15，最小值为 16。

结论

从 \( A \) 到 \( E \) 的最短距离为 16，对应选项 B。

答案：B. 16