【隔板法求组合问题】书架上有 21 本书，编号从 1 到 21。现从中选取 4 本，要求这 4 本书的编号互不相邻。 问共有多少种不同的选法？

书架上有 21 本书，编号从 1 到 21。现从中选取 4 本，要求这 4 本书的编号互不相邻。
问共有多少种不同的选法？
选项：
A. 380
B. 480
C. 3060
D. 4280

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✅ 题解

1. 题意转化

• 从 21 个连续整数中选出 4 个，要求任意两个数 至少相差 2（即不相邻）。

2. 经典「不相邻」组合公式

• 对于从 n 个元素中选 k 个且 不相邻 的问题，答案为
  \[\boxed{\binom{n - k + 1}{k}} \]

• 代入本题：
  \[\binom{21 - 4 + 1}{4} = \binom{18}{4} \]

3. 计算组合数

\[\binom{18}{4} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3060 \]

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🎯 正确答案

\[\boxed{\text{B. } 3060} \]