背包问题动态规划总结：CCC 和 CSP 考题分析（ from 黄老师）

背包问题动态规划：CCC 和 CSP 考题分析 （from 黄老师）

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一、背包问题分类概览

✅ 各类背包问题的状态转移方程（含统计方案数）

类型	描述	最优值状态转移方程（max 价值）	统计方案数状态转移方程
0-1 背包	每种物品最多选一件	dp[v] = max(dp[v], dp[v - w] + c) （✅ 逆序遍历）	dp[v] += dp[v - w]（✅ 逆序遍历）
完全背包	每种物品可选无限次	dp[v] = max(dp[v], dp[v - w] + c) （✅ 顺序遍历）	dp[v] += dp[v - w]（✅ 顺序遍历）
多重背包	每种物品最多选 s 次	dp[v] = max(dp[v], dp[v - k×w] + k×c) （0 ≤ k ≤ s）	dp[v] += dp[v - k×w]（0 ≤ k ≤ s）
多重背包（二进制优化）	采用 01 背包 + 拆分优化实现	拆成 log(s) 件后用 0-1 背包求解	同上，对拆解后的每个物品进行 0-1 背包方案数计算
混合背包	同时包含01、完全、多重背包物品	分类型分别处理状态转移	分类型分别使用对应的方案数转移逻辑
分组背包	每组内至多选一个物品（组与组之间独立）	dp[v] = max(dp[v], dp[v - w_i] + c_i) （组内遍历）	dp[v] += dp[v - w_i]（组内累加）
二维费用 0-1 背包	每种物品消耗两类资源（如重量+体积），最多选一次	dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - w1][j - w2] + c)（双逆序：for i from V down to w1: for j from U down to w2:）	dp[i][j] += dp[i - w1][j - w2]（双逆序）
二维费用完全背包	每种物品消耗两类资源，可重复选	同上，改为正序遍历两个费用	同上，改为正序遍历两个费用
二维费用背包（滚动数组）	空间优化版本，按两维索引进行滚动	dp_new[i][j] = max(dp_new[i][j], dp_old[i-w1][j-w2]+c)	dp_new[i][j] += dp_old[i-w1][j-w2]

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📝 注意事项：

• 统计方案数的 dp 数组初始化应为：

  dp[0] = 1;  // 金额为0/体积为0的方案数为1，表示不选任何物品
  

• 价值最优问题通常用 dp[v] = max(...)，而方案数统计用 dp[v] += ...。

• 对于方案数计算，不涉及具体物品价值 c_i，只关心是否能拼出该体积/费用。

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二维费用01背包补充说明：

1. 状态定义：dp[i][j]表示在第一个费用维度不超过i、第二个费用维度不超过j时的最大价值。
2. 遍历逻辑：由于每个物品只能选一次，需对两个费用维度均进行逆序遍历，避免重复选择物品。
3. 扩展场景：适用于需要同时考虑两种资源消耗的问题（如背包同时受重量和体积限制）。

二、CCC （Canadian Computing Competition） 考题分析

以下是针对 CCC（Canadian Computing Competition） 和 CSP（CCF Certified Software Professional） 中涉及 背包问题（01背包、完全背包、多重背包、分组背包） 的经典题目整理与归类，列出 超过20个 并注明年份、题号与题目关键词，方便你进行有针对性的训练。

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🧠 二、CCC 考题分析：涉及背包思想题目汇总

年份	题号	题目名称	类型	简述
2025	S5	To-do List	分组背包	每天选择任务组合，时间有限，求最大价值
2024	S5	Chocolate Bar Partition	背包（状态DP）	划分巧克力使得分块最优
2023	S5	Sqrt Sort	状态DP	块内局部操作，带决策顺序
2022	S4	Good Groups	分组背包/状态压缩	社交分组优化，选择分组合法方式数
2021	S3	Lunch Concert	类 01 背包	移动+补贴优化，类似花费选择最优解
2020	S5	Escape Room	状态DP + 队列BFS优化	房间间移动与钥匙状态建模
2019	S5	Triangle	二维DP	按坐标选点构成最大三角形
2018	S5	Maximum Strategic Savings	分组选择	类似物品间互斥分组
2017	S4	Minimum Cost Delivery	动态转移	路线选择最小花费
2016	S5	Circle of Life	状态更新DP	一轮一轮更新后的稳定状态求值
2015	S5	Greedy for Pies	线性DP	时间+收益类最优化
2014	S4	Highway	多阶段状态转移	最短路径+费用控制
2013	S5	Factor Solitaire	数学+DP	类似有限操作构建状态转移
2012	S5	Mouse Journey	经典路径DP	障碍、状态转移类似二维背包
2011	S5	Switches	状压DP	状态较多，用位表示灯开关

📌注：CCC 中并不都是标准背包模型，但许多题可以抽象为“资源限制下的最优选择问题”，用背包思想转化建模解。

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🧠 三、CSP 考题分析：背包相关题目整理

年份	等级	题目名称	背包类型	简述
2019	CSP-S	纪念品	多重背包	物品有限，每种有多个，求最大价值
2020	CSP-J/S	优秀的拆分	分组背包	拆分数字求最大或最小方案数
2020	CSP-J	通信网络	01背包思想	选择最优链路传输组合
2018	CSP-S	小明放学	区间DP+背包思想	决策过程有限，考虑路径最优
2018	CSP-J	跳房子	动态决策	能量值约束，跳远模型抽象为背包
2021	CSP-J/S	回收站选址	空间优化DP	选定若干区域建站，考虑收益差值
2023	CSP-S	小皮买皮肤	多重背包+最小花费满足约束	套路典型
2022	CSP-J	数字消除	变形DP	子段之间选择，转移限制
2023	CSP-S	小皮吃药	0-1背包	吃药次数有限，选择最大收益
2019	CSP-J	小明种树	区间转移	选择性事件约束
2022	CSP-S	转盘抽奖	状压背包	状态空间大但可压缩
2021	CSP-J	幸运数字构造	状态转移问题	类似完全背包问题
2024	CSP-J	数字游戏	分类计数问题	拆位构造，抽象为组合方案数

📌注：CSP 中的“背包思想”主要体现为“在资源限制下选最优组合/最大收益/最小花费”，背包模型普适广。

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📚 附加训练建议

1. Luogu 背包分类训练专栏：https://www.luogu.com.cn/training/231055
2. OI Wiki 背包九讲：全面梳理各种背包模型和优化技巧
3. 推荐刷题顺序：
   • 0-1 背包 → 完全背包 → 多重背包 → 分组背包 → 状压背包 → 背包+数位/贪心/图论结合

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四、经典问题解法描述

比如：分组背包 C++ 代码简化

for (int t = 1; t <= T; ++t) {
    for (int v = V; v >= 0; --v) {
        int maxValue = dp[v];
        for (auto& item : group[t]) {
            if (v >= item.weight) {
                maxValue = max(maxValue, dp[v - item.weight] + item.value);
            }
        }
        dp[v] = maxValue;
    }
}

完全背包系列

for (int i = 0; i < n; ++i) {
    for (int v = items[i].weight; v <= V; ++v) {
        dp[v] = max(dp[v], dp[v - items[i].weight] + items[i].value);
    }
}

多重背包解法之一：二轮对数法

for (int i = 0; i < n; ++i) {
    int cnt = items[i].count;
    for (int k = 1; cnt > 0; k <<= 1) {
        int num = min(k, cnt);
        for (int v = V; v >= num * items[i].weight; --v) {
            dp[v] = max(dp[v], dp[v - num * items[i].weight] + num * items[i].value);
        }
        cnt -= num;
    }
}

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五、实战建议

• 先熟悉各类背包转移方程，尽量用一维 dp
• CCC 更重视优化，CSP 更重视实际经验和统计性
• 运用合选问题分组解法、二轮对数法和软代码技巧

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