AMC排列组合，涂色问题

这是一道区域涂色计数问题，核心是用分步+分类思想，结合“相邻区域颜色不同”规则，计算涂色方法总数，以下拆解逻辑：

1. 区域与颜色设定

把五个区域标记为 \( A、B、C、D、E \)，有红、黄、绿、黑4种颜色，要求相邻区域颜色不同。

2. 分步确定基础涂色（\( A、B、C \) 区域）

• \( A \) 区域：无限制，4种颜色可选，即 \( 4 \) 种方法。
• \( B \) 区域：与 \( A \) 相邻，不能同色，剩 \( 3 \) 种方法。
• \( C \) 区域：与 \( A、B \) 相邻，不能同色，剩 \( 2 \) 种方法。

3. 分类讨论 \( D、E \) 区域（关键：\( B \) 与 \( D \) 颜色关系）

涂色到 \( D、E \) 时，\( E \) 受 \( B、D \) 限制，需按“\( B \) 与 \( D \) 同色 / 不同色”分类：

情况①：\( B \) 与 \( D \) 同色

• \( D \) 区域：因和 \( B \) 同色，只有1种选择（被 \( B \) 颜色绑定）。
• \( E \) 区域：与 \( B（D）、C \) 相邻，不能同色，剩 \( 2 \) 种方法（排除 \( B、C \) 颜色）。
• 此情况总数：\( 4（A）×3（B）×2（C）×1（D）×2（E） = 48 \) 种。

情况②：\( B \) 与 \( D \) 不同色

• \( D \) 区域：与 \( A、B \) 相邻，不能同 \( A、B \) 色，剩 \( 1 \) 种方法（因 \( A、B \) 已用2种颜色，\( C \) 颜色不影响 \( D \)，但 \( D \) 需避开 \( A、B \) ）。
• \( E \) 区域：与 \( B、D、C \) 相邻，此时 \( B、D \) 颜色不同，\( E \) 需避开 \( B、D、C \) 中与它相邻的颜色（实际因布局，\( E \) 与 \( B、D、C \) 相邻关系下，只剩 \( 1 \) 种颜色可选 ）。
• 此情况总数：\( 4（A）×3（B）×2（C）×1（D）×1（E） = 24 \) 种。

4. 总计涂色方法

两类情况相加：\( 48 + 24 = 72 \) 种，即所有满足“相邻区域颜色不同”的涂色方式总数。

本质逻辑：通过“分步”确定前序区域涂色，再“分类”处理后序区域的依赖关系（\( B \) 与 \( D \) 颜色是否相同），覆盖所有可能的涂色路径，最终算出结果。