多重背包问题，常用解法分析与比较

🎯 多重背包问题三大解法总结（C++实现 + 中文讲解 + 题目推荐）

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✅ 问题类型 Problem Type：

多重背包（Bounded Knapsack）
每种物品最多只能选 \(s_i\) 次，不能无限制选择。

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🧠 解法一：朴素多重背包（Simple Expansion）

时间复杂度： \(O(n \times s \times m)\)
操作估计： ~30e6
适用场景： \(s\) 较小时，代码最直观，适合入门和验证正确性。

代码 C++：

for (int i = 0; i < n; i++) {
    int v, w, s;
    cin >> v >> w >> s;
    for (int k = 0; k < s; k++) {
        for (int j = m; j >= v; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v] + w);
        }
    }
}

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⚙️ 解法二：二进制拆分（Binary Decomposition）

时间复杂度： \(O(n \log s \times m)\)
操作估计： ~12e6
适用场景： \(s\) 较大时的实用方案，大幅减少物品数。

代码 C++：

for (int i = 0; i < n; i++) {
    int v, w, s;
    cin >> v >> w >> s;
    for (int k = 1; k <= s; k <<= 1) {
        for (int j = m; j >= k * v; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * v] + k * w);
        }
        s -= k;
    }
    if (s > 0) {
        for (int j = m; j >= s * v; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - s * v] + s * w);
        }
    }
}

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🚀 解法三：单调队列优化（Monotonic Queue）

时间复杂度： \(O(n \times m)\)
操作估计： ~3e6
适用场景： \(m, s\) 较大时最优选择，适合竞赛或极限测试。

核心思想：
按物品体积 \(v\) 的余数对容量分组，对每组进行滑动窗口最大值优化。

代码 C++：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int M = 6005;
int dp[M], g[M], q[M];

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        memcpy(g, dp, sizeof(dp));

        for (int r = 0; r < v; r++) {
            int head = 0, tail = -1;
            for (int t = 0; r + t * v <= m; t++) {
                int j = r + t * v;
                while (head <= tail && t - q[head] > s) head++;
                while (head <= tail && g[j] - t * w >= g[r + q[tail] * v] - q[tail] * w) tail--;
                q[++tail] = t;
                dp[j] = g[r + q[head] * v] - q[head] * w + t * w;
            }
        }
    }

    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}

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📊 三种解法对比表

解法编号	方法	时间复杂度	操作估计	优点	适用场景
解法1	枚举物品个数	\(O(n \times s \times m)\)	~30e6	简单直接	s 小、教学/验证
解法2	二进制优化	\(O(n \log s \times m)\)	~12e6	降低冗余、效率提升	s 中等
解法3	单调队列优化	\(O(n \times m)\)	~3e6	效率最优，竞赛推荐	s/m 较大，性能要求高

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🧪 LeetCode & 洛谷相关题目推荐练习

🔷 LeetCode：

题号	题目名称	类型	链接
322	零钱兑换	完全背包	传送门
518	零钱兑换 II	完全背包 + 组合数	传送门
474	一和零	多维 0-1 背包	传送门
879	盈利计划	多重背包	传送门

🔶 洛谷：

题号	题目名称	类型	链接
P1060	开心的金明	多重背包	传送门
P1776	宝物筛选	多重背包	传送门
P1833	樱花	多重背包	传送门

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✅ 总结

• 💡 解法1： 简洁直观，适合入门。
• ⚙️ 解法2： 实用性强，建议掌握。
• 🚀 解法3： 性能最优，竞赛优选。
• 📚 练习题覆盖完整背包体系，含完全、0-1、多重、多维背包题。

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