0-1背包问题动态规划表格分析与讲解

0-1背包问题动态规划表格分析与讲解

针对您提供的0-1背包问题动态规划（DP）表格，我将逐步解释其含义、构建过程和如何从中解读结果。表格基于经典的0-1背包问题，目标是在背包容量限制下，选择物品（每个物品要么完整放入，要么不放入）以最大化总价值。表格使用动态规划方法求解，其中 dp[i][w] 表示在考虑前 i 个物品，且背包容量为 w 时能获得的最大价值。

表格内容回顾

您提供的表格如下（我已稍作格式化以便解释）：

物品索引 (i)	价值 (V)	重量 (W)	w=0	w=1	w=2	w=3	w=4	w=5	w=6
0 (初始)	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	4	1	0	4	4	4	4	4	4
2	8	3	0	4	4	8	12	12	12
3	4	5	0	4	4	8	12	12	12
4	6	1	0	6	10	10	14	18	18

• 行 (i): 表示逐步考虑的物品。i=0 是初始状态（无物品），i=1 到 i=4 表示逐个添加物品（物品顺序：1, 2, 3, 4）。
• 列 (w): 表示背包容量，从 0 到 6。
• 单元格 dp[i][w]: 值表示在考虑前 i 个物品、背包容量为 w 时的最大价值。
• 物品数据:
  • 物品 1: 价值 = 4, 重量 = 1
  • 物品 2: 价值 = 8, 重量 = 3
  • 物品 3: 价值 = 4, 重量 = 5
  • 物品 4: 价值 = 6, 重量 = 1

动态规划的核心思想

在0-1背包问题中，动态规划通过构建一个二维表来避免重复计算。每个单元格 dp[i][w] 的值基于以下递推关系计算：

• 如果第 i 个物品的重量 wt[i] 大于当前背包容量 w，则无法放入该物品，因此最大价值不变：
  dp[i][w] = dp[i-1][w]
• 如果第 i 个物品的重量 wt[i] 小于或等于 w，则可以选择放入或不放入，取两者中的最大值：
  • 不放入：dp[i][w] = dp[i-1][w]
  • 放入：dp[i][w] = dp[i-1][w - wt[i]] + val[i]
  • 所以 dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w - wt[i]] + val[i])

表格的填充顺序是从上到下（逐个添加物品）、从左到右（增加背包容量）。最终，dp[n][W]（其中 n 是物品总数，W 是背包最大容量）给出全局最优解。

表格构建过程详解

我将逐步解释表格如何从初始状态填充到最终结果。这有助于理解每个单元格的计算逻辑。

1. 初始行 (i=0): 没有物品时，无论背包容量多大，最大价值都是 0。

   • dp[0][w] = 0 对所有 w（即第一行全为 0）。

2. 添加物品 1 (i=1, V=4, W=1):

   • 物品 1 的重量为 1，因此：
     • w=0: 容量为 0，无法放入任何物品，dp[1][0] = dp[0][0] = 0。
     • w=1: 可以放入物品 1。max(dp[0][1], dp[0][1-1] + 4) = max(0, dp[0][0] + 4) = max(0, 0 + 4) = 4。
     • w>=2: 背包容量充足，但只有一个物品，因此放入物品 1 总是最优。例如，w=2: max(dp[0][2], dp[0][2-1] + 4) = max(0, dp[0][1] + 4) = max(0, 0 + 4) = 4（同理 w=3 到 w=6 都是 4）。
   • 结果：第二行 [0, 4, 4, 4, 4, 4, 4]。

3. 添加物品 2 (i=2, V=8, W=3):

   • 物品 2 的重量为 3，因此：
     • w=0: 容量 0，无法放入，dp[2][0] = dp[1][0] = 0。
     • w=1: 重量 3 > 1，无法放入，dp[2][1] = dp[1][1] = 4。
     • w=2: 重量 3 > 2，无法放入，dp[2][2] = dp[1][2] = 4。
     • w=3: 可以放入。选择：不放入则 dp[1][3] = 4；放入则 dp[1][3-3] + 8 = dp[1][0] + 8 = 0 + 8 = 8。max(4, 8) = 8。
     • w=4: 可以放入。不放入：dp[1][4] = 4；放入：dp[1][4-3] + 8 = dp[1][1] + 8 = 4 + 8 = 12。max(4, 12) = 12。
     • w=5: 类似 w=4，max(dp[1][5], dp[1][5-3] + 8) = max(4, dp[1][2] + 8) = max(4, 4 + 8) = 12。
     • w=6: 类似，max(dp[1][6], dp[1][6-3] + 8) = max(4, dp[1][3] + 8) = max(4, 4 + 8) = 12。
   • 结果：第三行 [0, 4, 4, 8, 12, 12, 12]。这里，当 w>=3 时，放入物品 2 能显著提升价值（因为价值高）。

4. 添加物品 3 (i=3, V=4, W=5):

   • 物品 3 的重量为 5，较重但价值不高：
     • w=0 到 w=4: 重量 5 > w，无法放入，因此 dp[3][w] = dp[2][w]（继承上一行）。
       • w=0: dp[3][0] = dp[2][0] = 0
       • w=1: dp[3][1] = dp[2][1] = 4
       • w=2: dp[3][2] = dp[2][2] = 4
       • w=3: dp[3][3] = dp[2][3] = 8
       • w=4: dp[3][4] = dp[2][4] = 12
     • w=5: 可以放入。不放入：dp[2][5] = 12；放入：dp[2][5-5] + 4 = dp[2][0] + 4 = 0 + 4 = 4。max(12, 4) = 12（不放入更优）。
     • w=6: 可以放入。不放入：dp[2][6] = 12；放入：dp[2][6-5] + 4 = dp[2][1] + 4 = 4 + 4 = 8。max(12, 8) = 12（不放入更优）。
   • 结果：第四行 [0, 4, 4, 8, 12, 12, 12]（与第三行相同）。物品 3 未被选中，因为它在任何容量下都无法提供比现有方案更高的价值。

5. 添加物品 4 (i=4, V=6, W=1):

   • 物品 4 的重量为 1，轻且价值较高：
     • w=0: 无法放入，dp[4][0] = dp[3][0] = 0。
     • w=1: 可以放入。不放入：dp[3][1] = 4；放入：dp[3][1-1] + 6 = dp[3][0] + 6 = 0 + 6 = 6。max(4, 6) = 6。
     • w=2: 可以放入。不放入：dp[3][2] = 4；放入：dp[3][2-1] + 6 = dp[3][1] + 6 = 4 + 6 = 10。max(4, 10) = 10。
     • w=3: 可以放入。不放入：dp[3][3] = 8；放入：dp[3][3-1] + 6 = dp[3][2] + 6 = 4 + 6 = 10。max(8, 10) = 10。
     • w=4: 可以放入。不放入：dp[3][4] = 12；放入：dp[3][4-1] + 6 = dp[3][3] + 6 = 8 + 6 = 14。max(12, 14) = 14。
     • w=5: 可以放入。不放入：dp[3][5] = 12；放入：dp[3][5-1] + 6 = dp[3][4] + 6 = 12 + 6 = 18。max(12, 18) = 18。
     • w=6: 可以放入。不放入：dp[3][6] = 12；放入：dp[3][6-1] + 6 = dp[3][5] + 6 = 12 + 6 = 18。max(12, 18) = 18。
   • 结果：第五行 [0, 6, 10, 10, 14, 18, 18]。物品 4 的加入显著提升了价值，尤其在较高容量时。

如何从表格中解读结果

• 最大价值: 表格的最后一行 (i=4) 对应考虑所有物品。背包容量 w=6 时的值 dp[4][6] = 18 就是全局最大价值。这表示在背包容量为 6 时，最优解的总价值为 18。
• 最优解的组合（回溯物品）: 通过反向追踪表格可以找出哪些物品被选中。方法是从 dp[i][w] 回溯，检查值是如何得来的：
  • 从 dp[4][6] = 18 开始（容量 6，所有物品）。
  • 比较 dp[4][6] 和 dp[3][6]（如果不放物品 4）:
    • dp[3][6] = 12，但 18 != 12，所以物品 4 被放入。
    • 剩余容量 = 6 - wt[4] = 6 - 1 = 5。
  • 看 dp[3][5] = 12（考虑前 3 个物品，容量 5）。
    • 比较 dp[3][5] 和 dp[2][5]（如果不放物品 3）: dp[2][5] = 12，且 12 == 12，所以物品 3 未被放入（值相同，说明不放）。
  • 看 dp[2][5] = 12（考虑前 2 个物品，容量 5）。
    • 比较 dp[2][5] 和 dp[1][5]（如果不放物品 2）: dp[1][5] = 4，但 12 != 4，所以物品 2 被放入。
    • 剩余容量 = 5 - wt[2] = 5 - 3 = 2。
  • 看 dp[1][2] = 4（考虑前 1 个物品，容量 2）。
    • 由于 i=1，只有一个物品，物品 1 被放入（因为 dp[1][2] = 4 > dp[0][2] = 0）。
  • 选中的物品: 物品 1 (W=1, V=4), 物品 2 (W=3, V=8), 物品 4 (W=1, V=6)。总重量 = 1 + 3 + 1 = 5 ≤ 6，总价值 = 4 + 8 + 6 = 18。物品 3 未被选中。

表格的意义与总结

• 动态规划的优势: 该表格展示了动态规划如何高效地解决0-1背包问题（时间复杂度 O(nW)，其中 n 是物品数，W 是容量）。它避免了暴力枚举所有组合（指数级复杂度），通过子问题的最优解构建全局最优。
• 关键观察:
  • 表格的每一行只依赖于上一行，体现了动态规划的“无后效性”。
  • 当新物品价值高且重量轻时（如物品 4），它能显著更新价值（例如，从 w=1 开始的变化）。
  • 当物品价值低或重量大时（如物品 3），它可能被忽略（行值不变）。
• 最终结果: 对于背包容量 W=6，最大价值为 18，通过选择物品 1、2 和 4 实现。
• 实际应用: 这种表格在算法设计（如资源分配、调度）中广泛使用。您提供的链接（https://alchemist-al.com/algorithms/knapsack-problem ）也详细解释了背包问题的变种和实现，可以作为进一步参考。