第19章位运算与进制转换

内容已经涵盖了“第19章位运算与进制转换”的核心知识点与典型例题，结构清晰、代码完整，非常适合作为教学笔记或学生自学资料。我可以帮你进一步优化下排版、提炼重点、补充解释或练习题，以下是一个 清晰有条理的重构建议版本：

第19章位运算与进制转换

1. 进制转换

1.1 十进制整数转其他进制（如16进制）

例：
$(114514)_{10} = (BF52)_{16}$

方法：除基取余法

每次对目标进制取余，记录余数。
将余数反向输出就是转换结果。

1.2 任意进制间转换例题

P1143 进制转换

P1143 进制转换

题目描述

请你编一程序实现两种不同进制之间的数据转换。

输入格式

共三行，第一行是一个正整数，表示需要转换的数的进制 $n\ (2\le n\le 16)$，第二行是一个 $n$ 进制数，若 $n>10$ 则用大写字母 $\verb!A!\sim \verb!F!$ 表示数码 $10\sim 15$，并且该 $n$ 进制数对应的十进制的值不超过 $10^9$，第三行也是一个正整数，表示转换之后的数的进制 $m\ (2\le m\le 16)$。

输出格式

一个正整数，表示转换之后的 $m$ 进制数。

输入输出样例 #1

输入 #1

16
FF
2

输出 #1

11111111

✅ 方法一（C++）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int char_to_int(char a) {
    return isdigit(a) ? a - '0' : a - 'A' + 10;
}
char int_to_char(int a) {
    return a < 10 ? a + '0' : a - 10 + 'A';
}

int main() {
    int n, m, dec = 0, num = 0;
    string input;
    int output[33];
    cin >> n >> input >> m;
    for(char ch : input) dec = dec * n + char_to_int(ch);
    while(dec) {
        output[num++] = dec % m;
        dec /= m;
    }
    for(int i = num - 1; i >= 0; i--)
        cout << int_to_char(output[i]);
    cout << endl;
    return 0;
}

1.3 十进制负数转二进制（补码）

类型	正数	负数	0
原码	符号位 0，数值位直接表示	符号位 1，数值位直接表示	+0（0000...）和 -0（1000...）
反码	与原码相同	符号位不变，其余位取反	+0（0000...）和 -0（1111...）
补码	与原码、反码相同	反码 + 1	唯一表示 0000...

总结记忆口诀
正数：三码（原码、反码、补码）合一，直接表示。
负数：
原码：符号位为 1，数值位直写。
反码：符号位不变，数值位取反。
补码：反码加 1，符号位参与运算。

例： $-20$

原码（8位）：10010100
反码（首位不变，其它取反）：11101011
补码（反码+1）：11101100

1.4 十进制小数转二进制

方法： 小数部分不断乘以 2，取整数部分。

例：
$(3.14)_{10} = (11.00100011...)_2$

$(0.8125)_{10} = (0.1101)_2$

1.5 十进制数转负进制

注意： 余数可能为负，需调整：

while(input != 0) {
    int k = input % r;
    int c = input / r;
    if (k < 0) {
        k -= r;
        c++;
    }
    input = c;
    output[num++] = k;
}

2. 位运算（C/C++）

位运算是对二进制位直接进行操作的运算方式。

2.1 按位与 `&`

同真为真（1 & 1 = 1）

2.2 按位或 `|`

一真为真（1 | 0 = 1）

2.3 按位异或 `^`

相同为0，不同为1
性质：a ^ b ^ a = b（常用于找唯一一个出现奇数次的数）

2.4 取反 `~`

~a 相当于对所有二进制位取反（有符号数会变成负数）

2.5 左移 `<<`

a << n 相当于 a × 2^n

2.6 右移 `>>`

a >> n 相当于 a ÷ 2^n

3. 典型练习

3.1 高低位交换（16位）

P1100 高低位交换

题目描述

给出一个小于 $2^{32}$ 的非负整数。这个数可以用一个 $32$ 位的二进制数表示（不足 $32$ 位用 $0$ 补足）。我们称这个二进制数的前 $16$ 位为“高位”，后 $16$ 位为“低位”。将它的高低位交换，我们可以得到一个新的数。试问这个新的数是多少（用十进制表示）。

例如，数 $1314520$ 用二进制表示为 $0000\,0000\,0001\,0100\,0000\,1110\,1101\,1000$（添加了 $11$ 个前导 $0$ 补足为 $32$ 位），其中前 $16$ 位为高位，即 $0000\,0000\,0001\,0100$；后 $16$ 位为低位，即 $0000\,1110\,1101\,1000$。将它的高低位进行交换，我们得到了一个新的二进制数 $0000\,1110\,1101\,1000\,0000\,0000\,0001\,0100$。它即是十进制的 $249036820$。

输入格式

一个小于 $2^{32}$ 的非负整数
一个小于 $2^{32}$ 的非负整数。

输出格式

将新的数输出
将新的数输出。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

249036820

unsigned int n;
cin >> n;
cout << ((n << 16) + (n >> 16)) << endl;

3.2 负进制转换（如 base -2）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

char int_to_char(int a) {
    return a <= 9 ? '0' + a : a - 10 + 'A';
}
int main() {
    int output[105], input, r, num = 0;
    cin >> input >> r;
    cout << input << "=";
    while(input) {
        int k = input % r;
        int c = input / r;
        if(k < 0) {
            k -= r;
            c++;
        }
        input = c;
        output[num++] = k;
    }
    for(int i = num - 1; i >= 0; i--) cout << int_to_char(output[i]);
    cout << "(base" << r << ")" << endl;
}

3.3 找筷子（异或找只出现一次的数）

P1469 找筷子(位运算)异或的性质

P1469 找筷子

题目描述

经过一段时间的紧张筹备，电脑小组的“RP 餐厅”终于开业了，这天，经理 LXC 接到了一个定餐大单，可把大家乐坏了！员工们齐心协力按要求准备好了套餐正准备派送时，突然碰到一个棘手的问题：筷子！

CX 小朋友找出了餐厅中所有的筷子，但遗憾的是这些筷子长短不一，而我们都知道筷子需要长度一样的才能组成一双，更麻烦的是 CX 找出来的这些筷子数量为奇数，但是巧合的是，这些筷子中只有一只筷子是落单的，其余都成双，善良的你，可以帮 CX 找出这只落单的筷子的长度吗？

输入格式

第一行是一个整数，表示筷子的数量 $n$。

第二行有 $n$ 个整数，第 $i$ 个整数表示第 $i$ 根筷子的长度 $a_i$。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

9
2 2 1 3 3 3 2 3 1

输出 #1

说明/提示

数据规模与约定

对于 $30\%$ 的数据，保证 $n \leq 10^5$。
对于 $100\%$ 的数据，保证 $1 \leq n \leq 10^7 + 1$，$1 \leq a_i \leq 10^9$。

提示

请注意数据读入对程序效率造成的影响。
请注意本题的空间限制为 $4$ Mb。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    int n, x, ans = 0;
    cin >> n;
    while(n--) {
        cin >> x;
        ans ^= x;
    }
    cout << ans << endl;
}

八进制转十六进制的步骤总结（以(3703)₈为例）

方法一：八进制 → 二进制 → 十六进制

步骤1：将八进制每位转换为3位二进制
八进制的每1位对应二进制的3位：

3 → 011
7 → 111
0 → 000
3 → 011

拼接后得到二进制数：
011 111 000 011 → 即 0111 1100 0011（按4位分组）

步骤2：将二进制按4位分组，转换为十六进制
每4位二进制对应1位十六进制：

0111 → 7
1100 → C
0011 → 3

最终结果：(3703)₈ = (7C3)₁₆

方法二：八进制 → 十进制 → 十六进制

步骤1：八进制转十进制
按权展开求和：
[
3 \times 8^3 + 7 \times 8^2 + 0 \times 8^1 + 3 \times 8^0 = 3 \times 512 + 7 \times 64 + 0 + 3 = 1536 + 448 + 3 = 1987
]

步骤2：十进制转十六进制
不断除以16取余数：

(1987 \div 16 = 124) 余 3
(124 \div 16 = 7) 余 12 (C)
(7 \div 16 = 0) 余 7

倒序排列余数得：7 C 3 → 即 (7C3)₁₆

验证过程示例

八进制 (3703)₈ → 二进制 → 十六进制
[
\begin{align}
3 &\rightarrow 011 \
7 &\rightarrow 111 \
0 &\rightarrow 000 \
3 &\rightarrow 011 \
\hline
\text{二进制} &= 011\ 111\ 000\ 011 \
&= 0111\ 1100\ 0011 \quad (\text{按4位分组}) \
&= 7\ \ C\ \ 3 \quad (\text{对应十六进制}) \
\end{align}
]

关键总结

推荐方法：八进制 → 二进制 → 十六进制（更高效，避免大数运算）
转换规则：
- 八进制→二进制：1位 → 3位
- 二进制→十六进制：4位 → 1位
易错点：
- 二进制分组时需注意位数不足补零（如 011 补为 0011）。
- 十六进制中 10-15 需用字母 A-F 表示。

通过上述步骤，(3703)₈ 最终转换为 (7C3)₁₆。

posted @ 2025-06-01 17:04 kkman2000 阅读(66) 评论(0) 收藏举报

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