递推和动态规划关联与区别

递推和动态规划有一定关联，但也存在明显区别，下面从定义、求解方式、状态转移特点、适用场景这几个方面为你详细分析：

定义

• 递推：是一种数学上的概念，指通过已知的初始条件，利用特定的递推关系，逐步计算出后续的值。它是一种从前往后或者从后往前的计算方式，每一步的计算都依赖于前面已经计算出的结果。
• 动态规划：是一种算法设计策略，用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。它通过将原问题分解为相对简单的子问题，并保存子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。

求解方式

• 递推：通常是根据问题本身的规律，找到一个递推公式，然后按照一定的顺序依次计算出所需的结果。它更侧重于数学公式的运用。例如，计算斐波那契数列，递推公式为 (F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)) ，其中 (F(0) = 0)，(F(1) = 1)。下面是使用 Python 实现的递推代码示例：

def fibonacci_recurrence(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    a, b = 0, 1
    for i in range(2, n + 1):
        a, b = b, a + b
    return b


print(fibonacci_recurrence(5))

• 动态规划：需要先定义状态，明确状态表示的含义，然后找出状态转移方程，最后根据状态转移方程进行求解。它通常会使用一个表格（数组）来保存子问题的解，避免重复计算。同样以斐波那契数列为例，动态规划的 Python 代码示例如下：

def fibonacci_dp(n):
    if n == 0:
        return 0
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[0] = 0
    dp[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    return dp[n]


print(fibonacci_dp(5))

状态转移特点

• 递推：递推的状态转移关系比较直接，往往是根据问题的实际背景得出的简单数学关系。递推过程中，每一步的计算都是确定的，不需要进行选择。
• 动态规划：状态转移方程通常需要考虑多种选择，通过比较不同选择的结果来确定最优解。动态规划的核心在于利用最优子结构性质，即原问题的最优解包含子问题的最优解。

适用场景

• 递推：适用于一些具有明显递推规律的问题，如数列计算、阶乘计算等。这些问题的求解过程比较直接，不需要进行复杂的决策。
• 动态规划：适用于解决优化问题，如背包问题、最长公共子序列问题、最短路径问题等。这些问题通常具有重叠子问题和最优子结构性质，使用动态规划可以避免大量的重复计算，提高算法效率。