泰勒公式泰勒公式！！！你个泰勒公式

标题我什么都没说...

泰勒定理的介绍

Taylor's Formula是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。这个公式来自于微积分的泰勒定理（Taylor's theorem），泰勒定理描述了一个可微函数，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式（Taylor polynomial).

泰勒公式还给出了余项即这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

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上面也已经说明了，泰勒公式的初衷是用多项式来近似表示函数在某点周围的情况.这里我会放一些常用函数的在0点处的泰勒近似.

不要觉得这个想法很莫名其妙，或者看到上面的近似觉得莫名奇妙，为什么通过各阶导就能做到近似...

还是华东师大版数分，我相信读的仔细的人，有注意到，在初学导数在一部分，有这么一段话：

fine,我记不得了.

总之，我们在这边先复习一下导数.

导数的定义
定义1
某点的差商极限存在，则称函数\(f\)在点\(x_0\)可导，并称该极限为函数\(f\)在点\(x_0\)的导数. 记作\(f'(x_0)\).可以看到导数的定义是对某点，这个点需要注意，而\(f'(x_0)\)存在的话，就是一个确切的数.

导函数：
若函数在区间\(I\)上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称\(f\)为\(I\)上的可导函数.此时对每一个\(x\in I\),都有\(f\)的一个导数\(f'(x)\)(或单侧导数）与之对应.这样就定义了一个在\(I\)上的函数，称为\(f\)为在\(I\)上的导函数，也简称为导数.

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导数是函数增量\(\Delta y\)与自变量增量\(\Delta x\)之比的极限. 这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率，也叫做差商，而导数\(f'(x)\)则为\(f\)在\(x_0\)处关于\(x\)的变化率.

再细读一下，增量比是关于自变量的平均变化率；导数是在某点处关于自变量的变化率.

现在我们补上那段引用

（有限增量公式）设\(f(x)\)在\(x_0\)点可导，那么有
\(\Delta y = f'(x_0)\Delta x +o(\Delta x)\)
这里稍微解释一下，由\(f'(x)\)的定义，通俗地理解是差商的近似.等式两边同时除以\(\Delta x\)，可以看到就是上述定义.

进一步我们写为

\[f(x)-f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0) \]

即

\[f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0) \]

看到这里，其实我们的引入已经完成了.

$ $

\(\;\;\;\;\;\)现在再换一种角度。这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是函数在一点附近的最佳线性近似：

\[f(x) \approx f(a) +f'(a)(x-a) \]

泰勒定理

注意到\(f(x)\)和\(f(a) +f'(a)(x-a)\)在\(a\)处的零阶导数和一阶导数都相同。对足够光滑的函数，如果一个多项式在\(a\)处的前\(n\)次导数值都与函数在\(a\)处的前\(n\)次导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在\(a\)附近的情况.泰勒定理保证.

泰勒定理（以后常用的是\(a =0\)）：

• 皮亚诺型余项的泰勒公式(余项用无穷小量）
• 拉格朗日型余项的泰勒公式（余项用拉格朗日中值定理）
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常用函数的麦克劳林公式：

\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

\[\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

\[\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \]

\[\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad (|x| < 1) \]

\[(1+x)^a = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{a}{n} x^n = 1 + a x + \frac{a(a-1)}{2!} x^2 + \cdots \quad (|x| < 1) \]

\[\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad (|x| < 1) \]