无穷级数复习（自用）

无穷级数解题技巧：见到什么，想到什么

按照“题目特征 → 解题方法 → 具体操作”整理，涵盖数项级数、幂级数和傅里叶级数。

一、判别敛散性：先做这三步

拿到 \(\sum u_n\)，先判断：

通项是否趋于零？ 若不趋于零，直接发散。
通项最终是否同号？ 同号优先考虑比较、等价、比值、根值、积分判别。
是否变号？ 先考虑绝对收敛，再看交错、拆项、配对或部分和。

记住：

\[\boxed{u_n\to 0\text{ 只是级数收敛的必要条件，不是充分条件。}} \]

有限项不影响敛散性，因此很多不等式、单调性，只需从某项开始成立。

1. 见到普通的关于 n 的表达式，先找标准级数

见到的特征	优先考虑	下手动作
多项式之比	与 \(1/n^p\) 比较	分子、分母提最高次幂
\(\sin(1/n^p)\)、\(\ln(1+1/n^p)\)，\(p>0\)	等价无穷小	化成 \(1/n^p\)
\(1-\cos(1/n^p)\)，\(p>0\)	二阶等价	化成 \(1/(2n^{2p})\)
两个趋于相同值的函数相减	泰勒展开	找到相减后首个非零项
\(a^n-b^n\)，且 \(a>b>0\)	提取大底数的指数项	写成 \(a^n[1-(b/a)^n]\)
\(a^{\ln n}\)、\((\ln n)^{\ln n}\)	指数、对数互化	写成 \(e^{(\text{指数})\ln(\text{底数})}\)
阶乘、连乘积	比值判别法	计算相邻项之比，大量约去因子
整体的 \(n\) 次方	根值判别法	计算 \(\sqrt[n]{\lvert u_n\rvert}\)
\(1/[n(\ln n)^q]\)	积分判别法	积分时令 \(t=\ln x\)
有界振荡因子乘快速衰减项	绝对值比较	把振荡因子的绝对值放大成常数

最常用的参照对象：

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} \begin{cases} \text{收敛}, & p>1,\\ \text{发散}, & p\le 1. \end{cases} \]

\[\sum_{n=0}^{\infty}q^n\text{ 收敛} \iff \lvert q\rvert<1. \]

\[\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^q}\text{ 收敛} \iff q>1. \]

比较判别的方向不能反：证明收敛，要找收敛的上界；证明发散，要找发散的下界。

2. 见到相减、抵消、待定参数，展开到首个非零项

例如：

\[u_n=\sqrt[n]{a}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}, \qquad a>0. \]

先把根式转成可展开的形式：

\[\sqrt[n]{a}=e^{\frac{\ln a}{n}}. \]

展开后：

\[u_n = \frac{\ln a-\frac12}{n} + \frac{\frac12(\ln a)^2+\frac18}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right). \]

这时立即分类：

\(1/n\) 的系数不为零：最终与调和级数同阶，发散。
\(1/n\) 的系数为零：继续看 \(1/n^2\)，得到绝对收敛。

本例中，收敛的条件为：

\[\ln a-\frac12=0 \iff a=\sqrt e. \]

因此这类题的反应是：

\[\boxed{\text{参数决定低阶项能否消掉。}} \]

注意：

相减时不能把每一项粗略等价后直接相减。
外面若还乘 \(n\)、\(n^2\)，内部要多展开几阶。例如乘 \(n\) 后想看清 \(1/n^2\) 项，内部通常要展开到 \(1/n^3\) 项。

3. 见到抽象函数 f(1/n)，把函数条件翻译成零点附近的阶

例如题目给出：

\[f(0)=f'(0)=0, \qquad f''\text{ 在零点附近连续}. \]

立刻想到：

\[f(x)=O(x^2), \qquad f(1/n)=O(1/n^2). \]

因此 \(\sum f(1/n)\) 绝对收敛。

更一般地，如果展开得到：

\[f(x)=cx^k+o(x^k), \qquad c\ne 0, \]

则对于 \(\alpha>0\)：

\[f\left(\frac{1}{n^\alpha}\right) \sim \frac{c}{n^{\alpha k}}. \]

见到函数值、各阶导数值在零点依次为零，就看第一个非零项是几阶。

但仅有 \(f(x)=o(x)\)，不能推出 \(\sum f(1/n)\) 收敛；比 \(1/n\) 小一点仍可能发散。

4. 见到相邻函数值之差，先试裂项，再试中值定理

第一反应是写部分和：

\[\sum_{n=1}^{N}[f(n+1)-f(n)] = f(N+1)-f(1). \]

所以只需研究 \(f(N+1)\) 是否有有限极限。

若通项中还有其他因子，不能直接相消，则考虑：

差的形式	处理方式
\(\sqrt{n+1}-\sqrt n\)	有理化
\(\frac{1}{n^p}-\frac{1}{(n+1)^p}\)	先看裂项；必要时通分或求等价
\(\ln(n+1)-\ln n\)	合并成 \(\ln(1+1/n)\)
一般的 \(f(n+1)-f(n)\)	用中值定理写成 \(f'(\xi_n)\)，其中 \(\xi_n\in(n,n+1)\)

例如：

\[\sqrt{n+1}-\sqrt n = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} \sim \frac{1}{2\sqrt n}. \]

别把两个各自发散的级数拆开相减。 差分型题目往往正是靠原通项里的抵消收敛。

5. 同时给函数、导数及二阶导数的信息，想到中值定理搭桥

典型信息：

\[f'(x)>0, \qquad f''(x)<0, \qquad f(x)\to A\in\mathbb R. \]

目标是判断 \(\sum f'(n)\)。

因为 \(f'\) 递减，由中值定理可得：

\[0<f'(n+1)\le f(n+1)-f(n). \]

右侧求和可以相消：

\[\sum_{n=1}^{N}[f(n+1)-f(n)] = f(N+1)-f(1). \]

右侧级数收敛，由比较判别法得到 \(\sum f'(n+1)\) 收敛，进而 \(\sum f'(n)\) 收敛。

\[\boxed{\text{导数不好求和，就用相邻函数值之差来比较。}} \]

6. 见到数列收敛，立刻提取有界、保号、远离零

已知条件	可以立即使用的信息
\(a_n\to a\in\mathbb R\)	存在 \(M>0\)，使 \(\lvert a_n\rvert\le M\)
\(a_n\to a>0\)	充分大时 \(a_n>a/2\)
\(a_n\to a\ne0\)	充分大时与 \(a\) 同号，且 \(\lvert a_n\rvert>\lvert a\rvert/2\)
\(a_n\to0\)	对任意 \(\varepsilon>0\)，充分大时 \(\lvert a_n\rvert<\varepsilon\)
\(n^pa_n\to c\ne0\)	\(a_n\sim c/n^p\)
\(n^p\lvert a_n\rvert\to c>0\)	\(\lvert a_n\rvert\sim c/n^p\)，可判断绝对收敛性

例如：

\[a_n\to a>0 \quad\Longrightarrow\quad 0< \frac{1}{(1+a_n)^n} \le \left(\frac{1}{1+a/2}\right)^n \]

最终成立，直接用几何级数比较。

不要把 \(a_n\to a\) 写成“令 \(a_n=a\)”；要把极限变成能用的不等式。

7. 见到含 a_n 的简单分式，考虑与 a_n 比较

当 \(a_n\to0\) 时：

\[\frac{a_n}{1+a_n}\sim a_n, \qquad \frac{a_n}{1-a_n}\sim a_n. \]

如果 \(a_n>0\)，便可用于正项级数判别。

常用放缩：

\[0<a_n<1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{a_n}{2} \le \frac{a_n}{1+a_n} \le a_n. \]

\[0<a_n<\frac12 \quad\Longrightarrow\quad a_n \le \frac{a_n}{1-a_n} \le 2a_n. \]

若只知道 \(\sum a_n\) 发散，不能擅自认为 \(a_n\to0\)。应分别讨论趋零与不趋零的情况，或者直接找统一界。

另外，见到：

\[\frac{a_n}{1+n^pa_n}, \qquad a_n>0, \]

应马上想到：

\[0< \frac{a_n}{1+n^pa_n} \le \frac{1}{n^p}. \]

当 \(p>1\) 时，直接得到级数收敛，不需要求 \(a_n\)。

8. 见到变指数，特别检查指数趋于 1 的临界情况

如果 \(a_n\to a\)，则：

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{a_n}} \begin{cases} \text{收敛}, & a>1,\\ \text{发散}, & a<1,\\ \text{不能仅凭该极限判断}, & a=1. \end{cases} \]

临界情况应改写为：

\[\frac{1}{n^{a_n}} = \frac{1}{n}e^{-(a_n-1)\ln n}. \]

真正要看的是 \((a_n-1)\ln n\)，不能直接把指数换成极限 \(1\)。

两个典型结构：

\[\frac{1}{n^{1+1/n}} \sim \frac{1}{n}, \]

因此对应级数发散。

而：

\[\frac{1}{n^{1+1/\sqrt{\ln n}}} = \frac{1}{ne^{\sqrt{\ln n}}}, \qquad n\ge2. \]

利用积分判别，令 \(t=\sqrt{\ln x}\)：

\[\int_2^\infty \frac{1}{xe^{\sqrt{\ln x}}}\,dx = \int_{\sqrt{\ln2}}^\infty 2te^{-t}\,dt < \infty. \]

因此对应级数收敛。

9. 见到递推关系，先整理关系，不必急着求通项

以下涉及比较和比值的操作，通常针对正项数列。

递推关系的特征	考虑的方法
能算出 \(a_{n+1}/a_n\)	比值判别
能推出 \(a_{n+1}\le qa_n\)，\(0<q<1\)	迭代成几何级数上界
能推出 \(na_{n+1}\ge(n-1)a_n\)	构造新数列，得到调和级数型下界
出现 \(a_n-a_{n+1}\)	累加相消
递推指向某个极限	先证单调有界，再研究偏差或相邻差

例如：

\[\frac{a_{n+1}}{a_n}+\frac{1}{n}>1, \qquad a_n>0. \]

整理成：

\[na_{n+1}>(n-1)a_n. \]

连续比较得到：

\[na_{n+1}\ge a_2, \qquad n\ge1, \]

即：

\[a_{n+1}\ge\frac{a_2}{n}. \]

从而 \(\sum a_n\) 发散。

递推条件经常是帮你造出比较对象，而不是让你求出精确通项。

10. 见到两个数列的乘积，拆成可求和部分乘有界部分

例如已知：

\[\sum na_n\text{ 绝对收敛}, \qquad \sum\frac{b_n}{n}\text{ 收敛}. \]

判断 \(\sum a_nb_n\)，就写：

\[a_nb_n=(na_n)\frac{b_n}{n}. \]

因为：

\[\frac{b_n}{n}\to0, \]

所以 \(\{b_n/n\}\) 有界，存在 \(M>0\)，使：

\[\lvert a_nb_n\rvert \le M\lvert na_n\rvert. \]

得到 \(\sum a_nb_n\) 绝对收敛。

另外两个常见入口：

若两数列为正，且 \(a_{n+1}/a_n\le b_{n+1}/b_n\)，整理为：

\[\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} \le \frac{a_n}{b_n}, \]

从而得到 \(a_n\le Cb_n\)。

若实数项级数 \(\sum a_n\)、\(\sum b_n\) 都收敛，且 \(a_n\le b_n\)，考虑非负差 \(b_n-a_n\)。由于 \(\sum(b_n-a_n)\) 收敛，再利用三角不等式，可证明两者同时绝对收敛或同时条件收敛。

11. 见到根号、乘积、n 的幂，考虑基本不等式

核心工具：

\[\boxed{\lvert uv\rvert\le\frac{u^2+v^2}{2}.} \]

典型匹配：

\[\frac{\sqrt{a_n}}{n^p} \le \frac12\left(a_n+\frac{1}{n^{2p}}\right), \qquad a_n\ge0. \]

因此，若 \(a_n\ge0\)、\(\sum a_n\) 收敛，且 \(p>\frac12\)，则：

\[\sum\frac{\sqrt{a_n}}{n^p} \]

收敛。

又如，已知 \(\sum a_n^2\) 收敛，看到 \(\sum(-1)^na_n/n\)，直接使用：

\[\left\lvert\frac{(-1)^na_n}{n}\right\rvert \le \frac12\left(a_n^2+\frac{1}{n^2}\right). \]

得到绝对收敛。

这里虽然有 \((-1)^n\)，也不需要使用莱布尼茨判别法。

12. 见到通项与部分和同时出现，立即写成相邻部分和之差

\[\boxed{a_n=S_n-S_{n-1}.} \]

目标是把通项改造成能相消的差。

例如 \(a_n>0\)，且：

\[S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k. \]

对于 \(n\ge2\)：

\[\begin{aligned} \frac{a_n}{S_n^2} &= \frac{S_n-S_{n-1}}{S_n^2}\\ &\le \frac{S_n-S_{n-1}}{S_nS_{n-1}}\\ &= \frac{1}{S_{n-1}}-\frac{1}{S_n}. \end{aligned} \]

右侧累加相消，部分和有上界，因此原正项级数收敛。

注意上述放缩从 \(n=2\) 开始，首项单独处理。

同时记住：

正项级数：部分和有上界就收敛。
一般变号级数：部分和有界不够，甚至再加上 \(a_n\to0\) 也不够。

13. 见到积分定义的通项，先估计大小

例如：

\[u_n=\int_0^{1/n}f(x)\,dx. \]

如果当 \(x\to0^+\) 时：

\[f(x)\sim Cx^\alpha, \qquad C>0,\quad\alpha>-1, \]

则：

\[u_n \sim \frac{C}{\alpha+1}\frac{1}{n^{\alpha+1}}. \]

也可以直接把被积函数放缩成容易积分的幂函数。

积分上限趋于零，就研究被积函数在零点附近的阶。

二、变号级数：识别真正的交错结构

14. 见到标准交错结构，检查“正、减、零”

对于 \(\sum(-1)^nb_n\)，莱布尼茨判别法要检查：

\[b_n\ge0, \qquad b_n\text{ 最终单调不增}, \qquad b_n\to0. \]

判断单调性常用：

比较 \(b_{n+1}\) 与 \(b_n\)；
把 \(n\) 换成 \(x\)，研究 \(b'(x)\)；
对乘积、幂式取对数后求导。

然后再判断 \(\sum b_n\)，区分绝对收敛与条件收敛。

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p} \begin{cases} \text{绝对收敛}, & p>1,\\ \text{条件收敛}, & 0<p\le1,\\ \text{发散}, & p\le0. \end{cases} \]

“交错且趋零”不能直接代替全部条件。

15. 交错因子藏在对数、根式、分母内部，优先展开或有理化

例如：

\[\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^p}\right), \qquad p>0,\quad n\ge2. \]

展开成：

\[\frac{(-1)^n}{n^p} - \frac{1}{2n^{2p}} + O\left(\frac{1}{n^{3p}}\right). \]

关键是：平方以后 \((-1)^n\) 消失，产生不交错的项。

把后面整体记为：

\[r_n = -\frac{1}{2n^{2p}} + O(n^{-3p}) \sim -\frac{1}{2n^{2p}}. \]

再分别研究交错部分与 \(\sum r_n\)。

最终：

\[\sum_{n=2}^{\infty} \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^p}\right) \begin{cases} \text{绝对收敛}, & p>1,\\ \text{条件收敛}, & \frac12<p\le1,\\ \text{发散}, & 0<p\le\frac12. \end{cases} \]

类似地，对于 \(n\ge2\)：

\[\frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n} = \frac{(-1)^n\sqrt n}{n-1} - \frac{1}{n-1}. \]

前一部分的级数收敛，后一部分的级数发散，因此原级数发散。

\[\boxed{\text{交错藏在函数内部：找展开后出现的非交错项。}} \]

16. 变号通项等价，不能直接判断同敛散

正项级数中，\(u_n\sim v_n\) 可以用于同敛散判断；一般变号级数不行。

例如：

\[u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac{1}{n}, \qquad v_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}. \]

虽然：

\[\frac{u_n}{v_n}\to1, \]

但 \(\sum v_n\) 收敛，\(\sum u_n\) 发散。

正确反应是：

\[\boxed{\text{写成 }u_n=v_n+r_n,\text{ 再判断余项级数。}} \]

若 \(\sum r_n\) 绝对收敛，就可以进一步传递主项级数的收敛性质。

不能只说“余项更小”而跳过检查。

17. 三角函数的角度接近 nπ，主动制造交错因子

例如：

\[\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right). \]

拆出 \(n\pi\)：

\[\begin{aligned} \sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right) &= \sin\left(n\pi+\pi(\sqrt{n^2+1}-n)\right)\\ &= (-1)^n\sin\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}. \end{aligned} \]

于是得到标准交错结构。

角度接近整数倍 \(\pi\) → 减去整数倍 \(\pi\) → 检查莱布尼茨条件；判断绝对收敛性时再用小角等价。

18. 交错但单调性不好证明，考虑拆项或相邻配对

两条常用路线：

拆项：拆成“熟悉的交错级数 + 绝对收敛级数”。
配对：研究 \(\sum(u_{2n-1}+u_{2n})\)，即偶数部分和 \(S_{2N}\)。

但配对后还要补一步：

\[S_{2N+1}=S_{2N}+u_{2N+1}. \]

再确认 \(u_n\to0\)，才能保证奇数部分和与偶数部分和趋于同一个极限。

分组后的级数收敛，不能无条件反推原级数收敛。

19. 见到条件收敛以及奇偶项重新组合，考虑正负部分分别发散

若：

\[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n \]

条件收敛，且 \(b_n>0\)，则：

\[\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n-1}=+\infty, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}b_{2n}=+\infty, \]

但：

\[\sum_{n=1}^{\infty}(b_{2n-1}-b_{2n}) \]

收敛。

因此遇到 \(b_{2n}-2b_{2n-1}\)，就拆成：

\[b_{2n}-2b_{2n-1} = (b_{2n}-b_{2n-1})-b_{2n-1}. \]

一个收敛部分，加上一个明确发散的部分，即可判断。

一般实数项级数还可用：

\[u_n^+=\frac{\lvert u_n\rvert+u_n}{2}, \qquad u_n^-=\frac{\lvert u_n\rvert-u_n}{2} \]

提取正项及负项的绝对值。

此时：

\[u_n=u_n^+-u_n^-, \qquad \lvert u_n\rvert=u_n^++u_n^-. \]

三、幂级数收敛域：先认中心，再算半径，最后查端点

20. 见到完整幂级数，考虑系数比值或根值

对于：

\[\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n, \]

若系数最终非零，且比值极限存在，可计算：

\[L=\lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert. \]

也可以在根值极限存在时计算：

\[L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}. \]

则收敛半径为：

\[R=\frac{1}{L}. \]

其中：

\(L=0\) 对应 \(R=\infty\)；
\(L=\infty\) 对应 \(R=0\)。

当 \(0<R<\infty\) 时，先得到内部区间：

\[\lvert x-x_0\rvert<R, \]

再把两个端点代回原级数，分别判别。

比值、根值判别中的极限等于 \(1\) 时，判别法失效，不代表级数发散。

21. 见到缺项幂级数，直接对整个通项作比值或根值

例如：

\[\sum a_nx^{2n}, \qquad \sum a_nx^{3n+1}. \]

不要把 \(a_n\) 当作 \(x^n\) 的完整系数直接套半径。

应设：

\[u_n(x)=a_nx^{2n}. \]

在比值有定义时计算：

\[\left\lvert\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right\rvert = \left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert \lvert x\rvert^2. \]

\(x=0\) 时直接代入原级数判断。

也可以令 \(t=x^2\)，先求 \(t\) 的收敛范围，再解回 \(x\)。

同理，见到 \((ax+b)^n\)、\((x-x_0)^{kn}\)，都先按整体处理。

22. 见到某点收敛、发散、条件收敛，想到阿贝尔定理

对幂级数 \(\sum a_n(x-x_0)^n\)：

已知信息	立即得到
在 \(x_1\) 收敛	\(R\ge\lvert x_1-x_0\rvert\)
在 \(x_1\) 发散	\(R\le\lvert x_1-x_0\rvert\)
在 \(x_1\) 条件收敛	\(R=\lvert x_1-x_0\rvert\)

最后一条特别重要：

\[\boxed{\text{条件收敛点只能在边界上。}} \]

判断另一个点时，比较的是到中心的距离，不是直接比较 \(x\) 的大小。

23. 系数多了 n、n(n−1) 或 1/(n+1)，想到求导、积分

下面以中心为 \(0\) 的幂级数为例：

系数变化	对应操作
\(a_n\to na_n\)	求导后乘回 \(x\)
\(a_n\to n(n-1)a_n\)	二次求导后乘回 \(x^2\)
\(a_n\to a_n/(n+1)\)	从 \(0\) 到 \(x\) 积分，再调整幂次

逐项求导、积分，收敛半径不变，端点则要重新判断。

若中心为 \(x_0\)，相应使用 \(x-x_0\)，积分起点也可取 \(x_0\)。

另外要分清：

将 \(\sum a_nx^n\) 改为 \(\sum a_n(x-x_0)^n\)：系数不变，半径不变。
把 \(x\) 换成 \(cx\)，且 \(c\ne0\)：半径按 \(1/\lvert c\rvert\) 缩放。
把 \(x\) 换成 \(x^2\)：要解相应不等式，不能直接沿用半径。

四、幂级数求和：把系数里碍事的 n 消掉

24. 见到这些系数，按下表选操作

目标级数的特征	优先方法
\(\sum x^n\)	几何级数
\(\sum nx^n\)	从几何级数求导再乘 \(x\)
\(\sum n^2x^n\)	重复使用 \(x\frac{d}{dx}\)
\(\sum x^n/n\)	对目标求导，求出后再积分
\(\sum x^n/(n+1)\)	先乘 \(x\)，使求导能消分母
\(\sum x^{2n+1}/(2n+1)\)	求导成 \(\sum x^{2n}\)
\(\sum x^n/[n(n+1)]\)	裂分，或调整幂次后求导
系数是关于 \(n\) 的有理式	多项式除法、部分分式分解
有 \(n!\)、\((2n)!\)、\((2n+1)!\)	联想指数、正弦、余弦展开

最常用的母式：

\[\sum_{n=0}^{\infty}x^n = \frac{1}{1-x}, \qquad \lvert x\rvert<1. \]

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} = -\ln(1-x), \qquad -1\le x<1. \]

\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = e^x, \qquad x\in\mathbb R. \]

例如，在 \(\lvert x\rvert<1\) 时：

\[\sum_{n=1}^{\infty}nx^n = x\left(\frac{1}{1-x}\right)' = \frac{x}{(1-x)^2}. \]

\[\sum_{n=1}^{\infty}n^2x^n = x\left(\frac{x}{(1-x)^2}\right)' = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}. \]

“先积后导、先导后积”说的是对目标级数的处理顺序；从已知母式出发，往往是在做相反操作。

25. 见到 an+b，先让幂次与分母或分子对上

求导时：

\[(x^{an+b})' = (an+b)x^{an+b-1}. \]

所以见到：

\[\frac{x^{an+b}}{an+b}, \qquad an+b\ne0, \]

求导就能消掉 \(an+b\)。

若幂次没对上，先乘除适当的 \(x\) 的幂，再求导或积分。

操作后一定核对：

起始下标；
是否漏掉首项；
求导后常数项是否消失；
积分常数；
除以 \(x\) 后，\(x=0\) 是否需要单独补回。

例如：

\[\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)' = \sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}. \]

从 \(n=1\) 开始，是因为 \(n=0\) 的常数项求导为零。

26. 见到系数递推式，考虑建立和函数的微分方程

设：

\[S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n. \]

在收敛区间内部，常用翻译为：

\[S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^n. \]

\[xS'(x) = \sum_{n=0}^{\infty}na_nx^n. \]

\[S''(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n. \]

因此，见到：

\[(n+1)a_{n+1} = (\alpha n+\beta)a_n, \]

立即考虑：

乘 \(x^n\) → 对 \(n\) 求和 → 改写成 \(S,S'\) → 解微分方程。

本例得到：

\[S'(x)=\alpha xS'(x)+\beta S(x), \]

即：

\[(1-\alpha x)S'(x)=\beta S(x). \]

初始条件由首项提供：

\[S(0)=a_0, \qquad S'(0)=a_1. \]

如果原级数从 \(n=1\) 开始，则通常 \(S(0)=0\)，移项求和时要注意首项。

27. 见到数项级数求和，考虑先加一个 x，再代值

例如：

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^n}. \]

联想到：

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} = -\ln(1-x). \]

再代入 \(x=\frac12\)，得到：

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^n} = \ln2. \]

28. 见到只取偶数项、奇数项，考虑 S(x) 与 S(−x) 的和差

若：

\[S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n, \]

则在收敛区间内部：

\[\frac{S(x)+S(-x)}{2} = \sum_{n=0}^{\infty}a_{2n}x^{2n}. \]

\[\frac{S(x)-S(-x)}{2} = \sum_{n=0}^{\infty}a_{2n+1}x^{2n+1}. \]

如果还带 \(n\)，再求导。

例如令：

\[E(x)=\frac{S(x)+S(-x)}{2}, \]

那么：

\[\frac{xE'(x)}{2} = \sum_{n=1}^{\infty}na_{2n}x^{2n}. \]

五、函数展开：先变成基本展开式认识的样子

29. 见到以下函数，先作对应变形

原函数特征	第一反应
\(\ln(a+bx)\)，\(a>0\)	提出 \(a\)，化为 \(\ln a+\ln(1+bx/a)\)
\(\ln(1+ax+bx^2)\)	尝试因式分解；拆成实对数之和时检查各因子为正
\(\ln(1+x+x^2)\)	用 \(1+x+x^2=(1-x^3)/(1-x)\)，先在 \(\lvert x\rvert<1\) 内展开
\(1/(a+bx)\)，\(a\ne0\)	提常数，化为 \(1/(1-t)\)
分母是两个一次因子的乘积	部分分式分解，再分别展开
\(1/(1-x)^2\)、\(1/(1-x)^3\)	从几何级数求导
\(\sin^2x\)、\(\cos^2x\)	先降幂，再展开 \(\cos2x\)
要展开成 \((x-x_0)\) 的幂级数	先令 \(t=x-x_0\)
求某阶导数	先找对应幂次的系数，再乘阶乘

降幂公式：

\[\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}, \qquad \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}. \]

求导数的对应关系：

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n \quad\Longrightarrow\quad f^{(n)}(x_0)=n!a_n. \]

注意：

展开后的表达式要真正按 \(x^n\) 或 \((x-x_0)^n\) 排列。
\(x^{2n}\) 与 \(x^n\) 混合时，比较系数要分奇偶。
多个展开式相加，先在共同成立的区间合并；若有抵消，最终收敛域还要看合并后的级数。

30. 函数方程中有固定上下限的积分，把它当作未知常数

例如：

\[f(x)=g(x)-\int_0^1f(t)\,dt. \]

令：

\[C=\int_0^1f(t)\,dt, \]

得到：

\[f(x)=g(x)-C. \]

再对两边从 \(0\) 到 \(1\) 积分：

\[C=\int_0^1g(x)\,dx-C. \]

所以：

\[C=\frac12\int_0^1g(x)\,dx. \]

先求出函数，再展开；固定上下限、被积表达式也不含外部变量 \(x\) 的积分，与 \(x\) 无关。

如果是变上限积分，则考虑求导，把积分关系转成微分方程。

六、傅里叶级数：先认周期和奇偶，再决定是否需要算系数

31. 见到三角项，先从角频率认展开周期

\[\sin\frac{n\pi x}{l}, \qquad \cos\frac{n\pi x}{l} \]

对应的展开周期是 \(2l\)，其中 \(l>0\)。

三角项	对应展开周期
\(\sin nx\)、\(\cos nx\)	\(2\pi\)
\(\sin n\pi x\)、\(\cos n\pi x\)	\(2\)
\(\sin(n\pi x/l)\)、\(\cos(n\pi x/l)\)	\(2l\)

这里指所选傅里叶展开的周期，函数的最小正周期可能更小。

傅里叶级数写为：

\[\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n\cos\frac{n\pi x}{l} + b_n\sin\frac{n\pi x}{l} \right). \]

常数项是 \(a_0/2\)，不要写成 \(a_0\)。

32. 见到奇偶性，先消掉一半计算

\(f\) 为奇函数：\(a_0=a_n=0\)，只算正弦系数。
\(f\) 为偶函数：\(b_n=0\)，只算余弦系数。

奇函数的半区间公式：

\[b_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx, \qquad n\ge1. \]

偶函数的半区间公式：

\[a_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx, \qquad n\ge0. \]

其中：

\[a_0=\frac{2}{l}\int_0^lf(x)\,dx. \]

只给 \(f\) 在 \([0,l]\) 上的定义时：

要正弦展开：奇延拓，再周期延拓；
要余弦展开：偶延拓，再周期延拓。

半区间上的原函数本身不需要先具有奇偶性，奇偶性由延拓方式决定。

33. 只问某点的和函数值，先用收敛定理

在满足狄利克雷条件时：

\[S(x_0) = \frac{F(x_0-0)+F(x_0+0)}{2}, \]

其中 \(F\) 是周期延拓后的函数。

操作顺序：

用周期性把 \(x_0\) 移回一个周期；
用奇偶性继续化简；
连续点取函数值；
跳跃点取左右极限平均。

对于定义在 \((-l,l)\) 上再作周期延拓的函数，在周期接缝处：

\[S(\pm l) = \frac{f(l-0)+f(-l+0)}{2}. \]

看的是延拓后的左右极限，不是题目单独指定的点值。

34. 用傅里叶展开求数项级数的和，选择让三角项简单的点

代入点	常见作用
\(x=0\)	所有余弦变成 \(1\)，正弦变成 \(0\)
\(x=l\)	余弦变成 \((-1)^n\)，正弦变成 \(0\)
\(x=l/2\)	正弦、余弦按奇偶筛选项