A的伴随结论

伴随矩阵与原矩阵秩的关系

对于 \(n\) 阶矩阵 \(A\)，其伴随矩阵 \(A^*\) 的秩满足：

\[\boxed{ r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A)=n,\\ 1, & r(A)=n-1,\\ 0, & r(A)\le n-2. \end{cases} } \]

也就是说：

• 当 \(A\) 满秩时，\(A^*\) 也满秩；
• 当 \(r(A)=n-1\) 时，\(r(A^*)=1\)；
• 当 \(r(A)\le n-2\) 时，\(A^*=O\)。

任意向量都满足 \(A^*\alpha=0\)

若对于任意 \(n\) 维列向量 \(\alpha\)，都有

\[A^*\alpha=0, \]

也就是说，无论给 \(A^*\) 乘上什么向量，结果都是零向量。

这只能说明：

\[\boxed{A^*=O} \]

即 \(A^*\) 是零矩阵。

因此：

\[r(A^*)=0. \]

再根据伴随矩阵的秩公式可得：

\[\boxed{r(A)\le n-2}. \]