方程组解的构成

线性方程组解的构成

设系数矩阵为 \(A\)，未知向量为 \(x\)。

• 齐次线性方程组：\(Ax=0\)
• 非齐次线性方程组：\(Ax=b\)，其中 \(b\neq 0\)

一、解之间的运算关系

设 \(\eta_1,\eta_2\) 是同一个非齐次方程组 \(Ax=b\) 的解，\(\xi_1,\xi_2\) 是对应齐次方程组 \(Ax=0\) 的解。

\[\boxed{\text{齐次解}\pm\text{齐次解}=\text{齐次解}} \]

\[\boxed{k\times\text{齐次解}=\text{齐次解}} \]

\[\boxed{\text{非齐次解}-\text{非齐次解}=\text{齐次解}} \]

\[\boxed{\text{非齐次解}\pm\text{齐次解}=\text{非齐次解}} \]

\[\boxed{\text{非齐次解}+\text{非齐次解}\neq\text{原非齐次方程组的解}} \]

注意：必须是同一个非齐次方程组的两个解。不同方程组所得的到的齐次解不一定线性无关，比如\(\eta_1-\eta_2\)
与\(\xi_1\)不一定线性无关，所以不能组成方程组的通解。

二、解的运算总结

运算	结果
齐次解 \(+\) 齐次解	齐次解
齐次解 \(-\) 齐次解	齐次解
常数 \(\times\) 齐次解	齐次解
非齐次解 \(+\) 齐次解	原非齐次方程组的解
非齐次解 \(-\) 齐次解	原非齐次方程组的解
同一非齐次方程组的解 \(-\) 解	齐次解
非齐次解 \(+\) 非齐次解	一般不是原方程组的解
齐次解 \(-\) 非齐次解	\(Ax=-b\) 的解

三、解的个数与矩阵的秩

设矩阵 \(A\) 有 \(n\) 列。

1. 齐次方程组 \(Ax=0\)

\[\begin{cases} r(A)=n, & \text{只有零解},\\ r(A)<n, & \text{有非零解，并且有无穷多解}. \end{cases} \]

2. 非齐次方程组 \(Ax=b\)

\[\begin{cases} r(A)<r(A,b), & \text{无解},\\ r(A)=r(A,b)=n, & \text{有唯一解},\\ r(A)=r(A,b)<n, & \text{有无穷多解}. \end{cases} \]

七、一句话记忆

\[\boxed{ \begin{aligned} &\text{齐}+\text{齐}=\text{齐},\\ &\text{非}-\text{非}=\text{齐},\\ &\text{非}\pm\text{齐}=\text{非},\\ &\text{非齐次通解}=\text{特解}+\text{齐次通解}. \end{aligned} } \]