第一章计算

王道计算机组成原理第一章——计算公式与单位换算

一、CPU性能计算

1. 主频与时钟周期

\[f=\frac{1}{T} \]

\[T=\frac{1}{f} \]

其中：

\(f\)：CPU主频
\(T\)：时钟周期

2. CPU时钟周期数

\[\text{CPU时钟周期数} = \text{指令条数}\times \mathrm{CPI} \]

即：

\[C=IC\times \mathrm{CPI} \]

其中：

\(C\)：总时钟周期数
\(IC\)：程序执行的指令总数
\(\mathrm{CPI}\)：平均每条指令所需的时钟周期数

3. CPI

\[\mathrm{CPI} = \frac{\text{执行程序所需的总时钟周期数}} {\text{程序执行的指令总数}} \]

如果程序中包含多类指令，则平均CPI为：

\[\mathrm{CPI} = \sum_{i=1}^{n}\mathrm{CPI}_i\times p_i \]

其中：

\[p_i = \frac{\text{第 }i\text{ 类指令条数}} {\text{指令总数}} \]

也可以写成：

\[\mathrm{CPI} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}IC_i\times\mathrm{CPI}_i} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}IC_i} \]

4. CPU执行时间

\[T_{\mathrm{CPU}} = \text{CPU时钟周期数}\times\text{时钟周期} \]

\[T_{\mathrm{CPU}} = IC\times\mathrm{CPI}\times T \]

因为：

\[T=\frac{1}{f} \]

所以：

\[\boxed{ T_{\mathrm{CPU}} = \frac{IC\times\mathrm{CPI}}{f} } \]

5. 指令条数

由CPU执行时间公式变形：

\[IC = \frac{T_{\mathrm{CPU}}\times f} {\mathrm{CPI}} \]

6. 总时钟周期数

\[C=T_{\mathrm{CPU}}\times f \]

7. 主频

\[f = \frac{IC\times\mathrm{CPI}} {T_{\mathrm{CPU}}} \]

二、IPS与MIPS

1. IPS

IPS表示每秒执行的指令数：

\[\mathrm{IPS} = \frac{IC}{T_{\mathrm{CPU}}} \]

结合CPU执行时间公式：

\[\boxed{ \mathrm{IPS} = \frac{f}{\mathrm{CPI}} } \]

2. MIPS

MIPS表示每秒执行多少百万条指令：

\[\mathrm{MIPS} = \frac{IC} {T_{\mathrm{CPU}}\times10^6} \]

也可以写成：

\[\boxed{ \mathrm{MIPS} = \frac{f} {\mathrm{CPI}\times10^6} } \]

若主频的单位已经是MHz，则：

\[\boxed{ \mathrm{MIPS} = \frac{f(\mathrm{MHz})} {\mathrm{CPI}} } \]

3. 根据MIPS计算执行时间

\[T_{\mathrm{CPU}} = \frac{IC} {\mathrm{MIPS}\times10^6} \]

三、FLOPS

FLOPS表示每秒执行的浮点运算次数：

\[\mathrm{FLOPS} = \frac{\text{浮点运算次数}} {\text{执行时间}} \]

由此可得：

\[\text{执行时间} = \frac{\text{浮点运算次数}} {\mathrm{FLOPS}} \]

四、性能与执行时间

计算机性能与程序执行时间成反比：

\[\boxed{ \text{性能} = \frac{1}{\text{执行时间}} } \]

对于计算机A和计算机B：

\[\frac{\text{性能}_A}{\text{性能}_B} = \frac{T_B}{T_A} \]

如果A的执行时间比B短，则A的性能更高。

性能提高百分比

\[\text{性能提高率} = \frac{\text{新性能}-\text{原性能}} {\text{原性能}} \times100\% \]

由于性能与时间成反比：

\[\text{性能提高率} = \left( \frac{T_{\text{原}}}{T_{\text{新}}}-1 \right) \times100\% \]

注意：

\[\text{执行时间减少 }x\% \neq \text{性能提高 }x\% \]

若执行时间减少\(x\%\)，则：

\[T_{\text{新}} = (1-x\%)T_{\text{原}} \]

性能提高率为：

\[\frac{1}{1-x\%}-1 \]

五、加速比

\[\boxed{ S = \frac{T_{\text{原}}} {T_{\text{新}}} } \]

其中：

\(S\)：加速比
\(T_{\text{原}}\)：改进前执行时间
\(T_{\text{新}}\)：改进后执行时间

六、吞吐量

\[\text{吞吐量} = \frac{\text{完成的任务数量}} {\text{总时间}} \]

平均完成一个任务的时间为：

\[\text{平均任务时间} = \frac{\text{总时间}} {\text{任务数量}} \]

七、主存容量

1. 基本公式

\[\boxed{ \text{主存容量} = \text{存储单元数量} \times \text{每个存储单元的位数} } \]

若存储器有\(n\)根地址线，则存储单元数量为：

\[\boxed{ \text{存储单元数量}=2^n } \]

因此：

\[\boxed{ \text{主存容量} = 2^n\times\text{存储字长} } \]

2. 按字节编址

若有\(n\)根地址线，并且按字节编址，则：

\[\text{主存容量} = 2^n\mathrm{B} \]

3. 按字编址

若有\(n\)根地址线，每个存储字包含\(m\)位，则：

\[\text{主存容量} = 2^n\times m\mathrm{bit} \]

换算成字节：

\[\text{主存容量} = \frac{2^n\times m}{8}\mathrm{B} \]

4. 地址范围对应的存储单元数

\[\boxed{ \text{存储单元数} = \text{末地址}-\text{首地址}+1 } \]

如果按字节编址：

\[\text{主存容量} = (\text{末地址}-\text{首地址}+1)\mathrm{B} \]

5. 地址位数

若共有\(N\)个存储单元，则所需地址位数\(n\)满足：

\[2^n\geq N \]

因此：

\[\boxed{ n=\left\lceil\log_2N\right\rceil } \]

若恰好有\(N=2^n\)个存储单元，则：

\[n=\log_2N \]

八、常用单位换算

1. 位与字节

\[\boxed{ 1\mathrm{B}=8\mathrm{bit} } \]

其中：

\(\mathrm{bit}\)或小写\(\mathrm{b}\)表示“位”
大写\(\mathrm{B}\)表示“字节”

\[1\mathrm{Byte}=8\mathrm{bit} \]

2. 存储容量单位——二进制换算

\[1\mathrm{KiB}=2^{10}\mathrm{B}=1024\mathrm{B} \]

\[1\mathrm{MiB}=2^{10}\mathrm{KiB}=2^{20}\mathrm{B} \]

\[1\mathrm{GiB}=2^{10}\mathrm{MiB}=2^{30}\mathrm{B} \]

\[1\mathrm{TiB}=2^{10}\mathrm{GiB}=2^{40}\mathrm{B} \]

常见简写习惯：

\[1\mathrm{KB}\approx2^{10}\mathrm{B} \]

\[1\mathrm{MB}\approx2^{20}\mathrm{B} \]

\[1\mathrm{GB}\approx2^{30}\mathrm{B} \]

\[1\mathrm{TB}\approx2^{40}\mathrm{B} \]

严格写法应使用：

单位	大小
\(\mathrm{KiB}\)	\(2^{10}\mathrm{B}\)
\(\mathrm{MiB}\)	\(2^{20}\mathrm{B}\)
\(\mathrm{GiB}\)	\(2^{30}\mathrm{B}\)
\(\mathrm{TiB}\)	\(2^{40}\mathrm{B}\)

3. 十进制数量单位

\[1\mathrm{K}=10^3 \]

\[1\mathrm{M}=10^6 \]

\[1\mathrm{G}=10^9 \]

\[1\mathrm{T}=10^{12} \]

\[1\mathrm{P}=10^{15} \]

\[1\mathrm{E}=10^{18} \]

主频、网络速率、IPS和FLOPS通常采用十进制换算。

4. 频率单位

\[1\mathrm{kHz}=10^3\mathrm{Hz} \]

\[1\mathrm{MHz}=10^6\mathrm{Hz} \]

\[1\mathrm{GHz}=10^9\mathrm{Hz} \]

\[1\mathrm{THz}=10^{12}\mathrm{Hz} \]

5. 时间单位

\[1\mathrm{s}=10^3\mathrm{ms} \]

\[1\mathrm{ms}=10^{-3}\mathrm{s} \]

\[1\mathrm{\mu s}=10^{-6}\mathrm{s} \]

\[1\mathrm{ns}=10^{-9}\mathrm{s} \]

\[1\mathrm{ps}=10^{-12}\mathrm{s} \]

换算关系：

\[1\mathrm{ms}=10^3\mathrm{\mu s} \]

\[1\mathrm{\mu s}=10^3\mathrm{ns} \]

\[1\mathrm{ns}=10^3\mathrm{ps} \]

6. 主频与时钟周期快速对应

主频	时钟周期
\(1\mathrm{kHz}\)	\(1\mathrm{ms}\)
\(1\mathrm{MHz}\)	\(1\mathrm{\mu s}\)
\(1\mathrm{GHz}\)	\(1\mathrm{ns}\)
\(2\mathrm{GHz}\)	\(0.5\mathrm{ns}\)
\(2.5\mathrm{GHz}\)	\(0.4\mathrm{ns}\)
\(4\mathrm{GHz}\)	\(0.25\mathrm{ns}\)

快速计算：

\[\boxed{ T(\mathrm{ns}) = \frac{1}{f(\mathrm{GHz})} } \]

\[\boxed{ T(\mathrm{\mu s}) = \frac{1}{f(\mathrm{MHz})} } \]

7. FLOPS单位

\[1\mathrm{KFLOPS}=10^3\mathrm{FLOPS} \]

\[1\mathrm{MFLOPS}=10^6\mathrm{FLOPS} \]

\[1\mathrm{GFLOPS}=10^9\mathrm{FLOPS} \]

\[1\mathrm{TFLOPS}=10^{12}\mathrm{FLOPS} \]

\[1\mathrm{PFLOPS}=10^{15}\mathrm{FLOPS} \]

\[1\mathrm{EFLOPS}=10^{18}\mathrm{FLOPS} \]

九、十六进制与二进制换算

一个十六进制位对应4个二进制位：

\[\boxed{ 1\text{位十六进制}=4\text{位二进制} } \]

因此：

\[2\text{位十六进制}=8\text{位二进制} \]

\[4\text{位十六进制}=16\text{位二进制} \]

\[8\text{位十六进制}=32\text{位二进制} \]

常见数值：

\[10_{\mathrm{H}}=16_{\mathrm{D}} \]

\[100_{\mathrm{H}}=2^8=256_{\mathrm{D}} \]

\[1000_{\mathrm{H}}=2^{12}=4096_{\mathrm{D}} \]

\[10000_{\mathrm{H}}=2^{16}=65536_{\mathrm{D}} \]

十、第一章核心公式汇总

\[\boxed{T=\frac{1}{f}} \]

\[\boxed{ \mathrm{CPI} = \frac{\text{总时钟周期数}} {\text{总指令数}} } \]

\[\boxed{ \text{总时钟周期数} = IC\times\mathrm{CPI} } \]

\[\boxed{ T_{\mathrm{CPU}} = IC\times\mathrm{CPI}\times T } \]