二维正态分布
二维正态分布知识点与性质总结
一、二维正态分布的定义
设二维连续型随机变量 \((X,Y)\) 的联合概率密度为
\[f(x,y)=
\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}
\exp\left\{
-\frac{1}{2(1-\rho^2)}
\left[
\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}
-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}
+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}
\right]
\right\},
\]
其中
\[-\infty<\mu_1,\mu_2<+\infty,
\qquad
\sigma_1>0,\quad \sigma_2>0,
\qquad
-1<\rho<1.
\]
则称 \((X,Y)\) 服从二维正态分布，记作
\[\boxed{
(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)
}
\]
五个参数分别表示
\[\mu_1=E(X),\qquad \mu_2=E(Y),
\]
\[\sigma_1^2=D(X),\qquad \sigma_2^2=D(Y),
\]
\[\rho=\rho_{XY}
=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_1\sigma_2}.
\]
因此
\[\boxed{
\operatorname{Cov}(X,Y)=\rho\sigma_1\sigma_2
}
\]
二、均值向量与协方差矩阵
二维正态分布的均值向量为
\[\boldsymbol{\mu}
=
\begin{pmatrix}
\mu_1\\
\mu_2
\end{pmatrix}.
\]
协方差矩阵为
\[\boxed{
\Sigma=
\begin{pmatrix}
\sigma_1^2 & \rho\sigma_1\sigma_2\\
\rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2
\end{pmatrix}
}
\]
其行列式为
\[|\Sigma|
=
\sigma_1^2\sigma_2^2(1-\rho^2)>0.
\]
三、边缘分布
若
\[(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho),
\]
则无论 \(\rho\) 取何值，都有
\[\boxed{X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)}
\]
\[\boxed{Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)}
\]
即二维正态分布的边缘分布仍然是一维正态分布。
对应的边缘概率密度为
\[f_X(x)=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}
\exp\left[
-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}
\right],
\]
\[f_Y(y)=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}
\exp\left[
-\frac{(y-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}
\right].
\]
注意：
\[\boxed{
(X,Y)\text{ 联合正态}
\Longrightarrow
X,Y\text{ 分别正态}
}
\]
但是反过来一般不成立：
\[\boxed{
X,Y\text{ 分别服从正态分布}
\not\Longrightarrow
(X,Y)\text{ 联合正态}
}
\]
若 \(X,Y\) 分别服从正态分布且相互独立，则一定有
\[\boxed{
(X,Y)\text{ 服从二维正态分布}
}
\]
四、独立性与相关性
对于一般随机变量，
\[X,Y\text{ 独立}
\Longrightarrow
\operatorname{Cov}(X,Y)=0,
\]
但逆命题一般不成立。
对于二维正态随机变量，有特殊结论：
\[\boxed{
X,Y\text{ 相互独立}
\iff
\operatorname{Cov}(X,Y)=0
\iff
\rho=0
}
\]
当 \(\rho=0\) 时，联合概率密度为
\[f(x,y)
=
\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}
\exp\left[
-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(y-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}
\right].
\]
此时
\[\boxed{
f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)
}
\]
所以 \(X,Y\) 相互独立。
核心结论：
\[\boxed{
\text{对于联合正态随机变量，不相关与独立等价}
}
\]
五、标准化
令
\[U=\frac{X-\mu_1}{\sigma_1},
\qquad
V=\frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}.
\]
则
\[\boxed{
(U,V)\sim N(0,0;1,1;\rho)
}
\]
其联合概率密度为
\[f_{U,V}(u,v)
=
\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}
\exp\left[
-\frac{u^2-2\rho uv+v^2}{2(1-\rho^2)}
\right].
\]
并且
\[U\sim N(0,1),\qquad V\sim N(0,1).
\]
注意：标准化不会改变相关系数 \(\rho\)。
六、二维正态分布函数
二维正态分布函数定义为
\[F(x,y)=P(X\leq x,\ Y\leq y).
\]
标准化后
\[\boxed{
F(x,y)
=
\Phi_2\left(
\frac{x-\mu_1}{\sigma_1},
\frac{y-\mu_2}{\sigma_2};
\rho
\right)
}
\]
其中
\[\Phi_2(a,b;\rho)=P(U\leq a,\ V\leq b)
\]
表示相关系数为 \(\rho\) 的标准二维正态分布函数。
当 \(\rho=0\) 时，\(X,Y\) 相互独立，因此
\[\boxed{
F(x,y)
=
\Phi\left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)
\Phi\left(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)
}
\]
其中 \(\Phi(x)\) 为标准正态分布函数。
当 \(\rho\neq0\) 时，通常不能将联合概率拆成两个边缘概率的乘积。
七、矩形区域概率
对于
\[P(a<X\leq b,\ c<Y\leq d),
\]
利用二维分布函数的容斥公式：
\[\boxed{
\begin{aligned}
&P(a<X\leq b,\ c<Y\leq d)\\
={}&F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c).
\end{aligned}
}
\]
记忆方法：
\[\boxed{\text{右上}-\text{左上}-\text{右下}+\text{左下}}
\]
当 \(\rho=0\) 时，可以利用独立性写成
\[\boxed{
\begin{aligned}
&P(a<X\leq b,\ c<Y\leq d)\\
={}&
\left[
\Phi\left(\frac{b-\mu_1}{\sigma_1}\right)
-\Phi\left(\frac{a-\mu_1}{\sigma_1}\right)
\right]\\
&\times
\left[
\Phi\left(\frac{d-\mu_2}{\sigma_2}\right)
-\Phi\left(\frac{c-\mu_2}{\sigma_2}\right)
\right].
\end{aligned}
}
\]
八、线性组合仍服从正态分布
若
\[(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho),
\]
则对任意不全为零的常数 \(a,b\)，
\[\boxed{aX+bY\text{ 仍服从正态分布}}
\]
其均值为
\[\boxed{
E(aX+bY)=a\mu_1+b\mu_2
}
\]
方差为
\[\boxed{
D(aX+bY)
=
a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2
+2ab\rho\sigma_1\sigma_2
}
\]
因此
\[\boxed{
aX+bY
\sim
N\left(
a\mu_1+b\mu_2,\,
a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2
+2ab\rho\sigma_1\sigma_2
\right)
}
\]
特别地，
\[\boxed{
X+Y
\sim
N\left(
\mu_1+\mu_2,\,
\sigma_1^2+\sigma_2^2
+2\rho\sigma_1\sigma_2
\right)
}
\]
\[\boxed{
X-Y
\sim
N\left(
\mu_1-\mu_2,\,
\sigma_1^2+\sigma_2^2
-2\rho\sigma_1\sigma_2
\right)
}
\]
若 \(X,Y\) 相互独立，即 \(\rho=0\)，则
\[X+Y
\sim
N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2),
\]
\[X-Y
\sim
N(\mu_1-\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2).
\]
九、一般线性变换
设
\[\begin{pmatrix}
U\\
V
\end{pmatrix}
=
A
\begin{pmatrix}
X\\
Y
\end{pmatrix}
+
\boldsymbol{c},
\]
其中
\[A=
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix},
\qquad
\boldsymbol{c}=
\begin{pmatrix}
e\\
f
\end{pmatrix}.
\]
若 \((X,Y)\) 服从二维正态分布，则 \((U,V)\) 仍服从二维正态分布。
其均值向量为
\[\boxed{
E
\begin{pmatrix}
U\\
V
\end{pmatrix}
=
A\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{c}
}
\]
协方差矩阵为
\[\boxed{
\Sigma_{UV}=A\Sigma A^{\mathrm T}
}
\]
具体地，
\[U=aX+bY+e,
\]
\[V=cX+dY+f.
\]
则
\[E(U)=a\mu_1+b\mu_2+e,
\]
\[E(V)=c\mu_1+d\mu_2+f,
\]
\[D(U)
=
a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2
+2ab\rho\sigma_1\sigma_2,
\]
\[D(V)
=
c^2\sigma_1^2+d^2\sigma_2^2
+2cd\rho\sigma_1\sigma_2,
\]
\[\boxed{
\begin{aligned}
\operatorname{Cov}(U,V)
={}&ac\sigma_1^2+bd\sigma_2^2\\
&+(ad+bc)\rho\sigma_1\sigma_2.
\end{aligned}
}
\]
由于 \((U,V)\) 联合正态，因此
\[\boxed{
U,V\text{ 独立}
\iff
\operatorname{Cov}(U,V)=0
}
\]
十、条件分布
若
\[(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho),
\]
则固定 \(X=x\) 后，\(Y\) 的条件分布仍为正态分布：
\[\boxed{
Y\mid X=x
\sim
N\left(
\mu_2+\rho\frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x-\mu_1),
\,
\sigma_2^2(1-\rho^2)
\right)
}
\]
因此
\[\boxed{
E(Y\mid X=x)
=
\mu_2+\rho\frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x-\mu_1)
}
\]
\[\boxed{
D(Y\mid X=x)=\sigma_2^2(1-\rho^2)
}
\]
同理，
\[\boxed{
X\mid Y=y
\sim
N\left(
\mu_1+\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2),
\,
\sigma_1^2(1-\rho^2)
\right)
}
\]
即
\[\boxed{
E(X\mid Y=y)
=
\mu_1+\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2)
}
\]
\[\boxed{
D(X\mid Y=y)=\sigma_1^2(1-\rho^2)
}
\]
当 \(\rho=0\) 时，
\[Y\mid X=x\sim N(\mu_2,\sigma_2^2),
\]
条件分布与 \(x\) 无关，这正是 \(X,Y\) 相互独立的体现。
十一、由两个独立标准正态变量构造二维正态分布
设
\[U,V\overset{\text{独立}}{\sim}N(0,1).
\]
令
\[X=\mu_1+\sigma_1U,
\]
\[Y=\mu_2+\sigma_2
\left(
\rho U+\sqrt{1-\rho^2}\,V
\right).
\]
则
\[\boxed{
(X,Y)\sim
N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)
}
\]
这个表示说明：\(Y\) 中与 \(X\) 有关的部分是
\[\rho U,
\]
与 \(X\) 无关的随机部分是
\[\sqrt{1-\rho^2}\,V.
\]
十二、密度函数图像的性质
二维正态密度函数的最大值在
\[\boxed{(\mu_1,\mu_2)}
\]
处取得。
保持指数部分为常数，可以得到等密度曲线：
\[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}
-2\rho
\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}
+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}
=C.
\]
等密度曲线通常是一族以 \((\mu_1,\mu_2)\) 为中心的椭圆。
- \(\rho=0\) 时，椭圆的轴与坐标轴平行；
- \(\rho>0\) 时，\(X,Y\) 总体上同方向变化；
- \(\rho<0\) 时，\(X,Y\) 总体上反方向变化；
- \(|\rho|\) 越接近 \(1\)，椭圆越狭长；
- \(\rho\) 越接近 \(0\)，线性相关程度越弱。
十三、由密度函数反求参数
若联合概率密度写成
\[f(x,y)
=
k_0
\exp\left[
-(ax^2+by^2+cxy+dx+ey+g)
\right],
\]
并且它是二维正态密度，则比较二次项可得
\[a=\frac{1}{2(1-\rho^2)\sigma_1^2},
\]
\[b=\frac{1}{2(1-\rho^2)\sigma_2^2},
\]
\[c=-\frac{\rho}{(1-\rho^2)\sigma_1\sigma_2}.
\]
因此可以快速求出
\[\boxed{
\rho=-\frac{c}{2\sqrt{ab}}
}
\]
均值 \(\mu_1,\mu_2\) 可由一次项确定：
\[\boxed{
\begin{cases}
2a\mu_1+c\mu_2=-d,\\
c\mu_1+2b\mu_2=-e.
\end{cases}
}
\]
做题时也可以直接将指数中的二次式配方为二维正态密度的标准形式。
十四、独立同分布正态变量的常用变换
设
\[X_1,X_2\overset{\text{独立}}{\sim}N(\mu,\sigma^2),
\]
令
\[Y_1=aX_1+bX_2,
\qquad
Y_2=aX_1-bX_2.
\]
则
\[E(Y_1)=(a+b)\mu,
\]
\[E(Y_2)=(a-b)\mu,
\]
\[D(Y_1)=D(Y_2)=(a^2+b^2)\sigma^2,
\]
\[\operatorname{Cov}(Y_1,Y_2)
=
(a^2-b^2)\sigma^2,
\]
\[\boxed{
\rho_{Y_1Y_2}
=
\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}
}
\]
因为 \((Y_1,Y_2)\) 联合正态，所以
\[\boxed{
Y_1,Y_2\text{ 独立}
\iff
a^2=b^2
}
\]
例如，当
\[Y_1=X_1+X_2,
\qquad
Y_2=X_1-X_2
\]
时，
\[\operatorname{Cov}(Y_1,Y_2)=0,
\]
所以
\[\boxed{X_1+X_2\text{ 与 }X_1-X_2\text{ 相互独立}}
\]
这里必须有 \(X_1,X_2\) 独立、同方差且服从正态分布。
十五、常见易错点
1. 边缘正态不代表联合正态
\[X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),
\qquad
Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)
\]
不能直接推出 \((X,Y)\) 服从二维正态分布。
2. 不相关一般不能推出独立
一般情况下，
\[\operatorname{Cov}(X,Y)=0
\]
不能推出 \(X,Y\) 独立。
只有已经知道 \((X,Y)\) 联合正态时，才有
\[\operatorname{Cov}(X,Y)=0
\iff
X,Y\text{ 独立}.
\]
3. 线性组合结论必须建立在联合正态上
只有知道 \((X,Y)\) 联合正态，才能保证任意线性组合
\[aX+bY
\]
都服从正态分布。
只知道 \(X,Y\) 分别正态，但不知道是否联合正态，不能直接使用这一结论。
4. 方差中不要漏掉协方差项
\[\boxed{
D(aX+bY)
=
a^2D(X)+b^2D(Y)+2ab\operatorname{Cov}(X,Y)
}
\]
即
\[\boxed{
D(aX+bY)
=
a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2
+2ab\rho\sigma_1\sigma_2
}
\]
只有当 \(X,Y\) 独立或不相关时，最后一项才为零。
5. 条件方差与条件标准差不要混淆
条件方差为
\[\sigma_2^2(1-\rho^2),
\]
条件标准差为
\[\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}.
\]
标准化时分母使用的是条件标准差。
十六、考试核心结论汇总
\[\boxed{
(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)
}
\]
\[\boxed{
X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),
\qquad
Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)
}
\]
\[\boxed{
\operatorname{Cov}(X,Y)=\rho\sigma_1\sigma_2
}
\]
\[\boxed{
X,Y\text{ 独立}
\iff
\rho=0
}
\]
\[\boxed{
aX+bY
\sim
N\left(
a\mu_1+b\mu_2,\,
a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2
+2ab\rho\sigma_1\sigma_2
\right)
}
\]
\[\boxed{
Y\mid X=x
\sim
N\left(
\mu_2+\rho\frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x-\mu_1),
\,
\sigma_2^2(1-\rho^2)
\right)
}
\]
\[\boxed{
X\mid Y=y
\sim
N\left(
\mu_1+\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2),
\,
\sigma_1^2(1-\rho^2)
\right)
}
\]
看到二维正态分布题时，优先按照下面的顺序判断：
- 求单个变量的概率：使用边缘正态分布；
- 出现 \(\rho=0\)：立即想到 \(X,Y\) 相互独立；
- 出现 \(aX+bY\)：求线性组合的均值和方差；
- 出现两个线性组合：先求协方差，再利用联合正态判断独立；
- 出现条件概率：使用条件正态分布；
- 给出指数型密度：通过配方或比较系数确定五个参数。
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