函数奇偶性

函数奇偶性公式总结

1. 奇偶函数的定义

判断奇偶性之前，必须先检查函数的定义域是否关于原点对称。

偶函数

若对定义域内任意的 \(x\)，都有

\[f(-x)=f(x) \]

则称 \(f(x)\) 为偶函数。

图像特征： 图像关于 \(y\) 轴对称。

奇函数

若对定义域内任意的 \(x\)，都有

\[f(-x)=-f(x) \]

则称 \(f(x)\) 为奇函数。

图像特征： 图像关于原点对称。

若奇函数在 \(x=0\) 处有定义，则

\[f(0)=0 \]

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2. 奇偶函数的运算规律

运算	结果
奇函数 \(+\) 奇函数	奇函数
偶函数 \(+\) 偶函数	偶函数
奇函数 \(\times\) 奇函数	偶函数
偶函数 \(\times\) 偶函数	偶函数
奇函数 \(\times\) 偶函数	奇函数
奇函数 \(\div\) 奇函数	偶函数
偶函数 \(\div\) 偶函数	偶函数
奇函数 \(\div\) 偶函数	奇函数
偶函数 \(\div\) 奇函数	奇函数

记忆口诀：

同类相乘除为偶，异类相乘除为奇。

需要注意：

1. 奇函数与偶函数相加，一般是非奇非偶函数。
2. 商函数需要保证分母不为零。
3. 运算后的定义域也必须关于原点对称。

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3. 复合函数的奇偶性

设

\[F(x)=f(g(x)) \]

常用结论如下：

外函数 \(f\)	内函数 \(g\)	复合函数 \(f(g(x))\)
任意函数	偶函数	偶函数
偶函数	奇函数	偶函数
奇函数	奇函数	奇函数

记忆口诀：

内偶则偶，内奇看外。

例如，若 \(g(x)\) 是偶函数，则

\[g(-x)=g(x) \]

所以

\[f(g(-x))=f(g(x)) \]

因此 \(f(g(x))\) 是偶函数。

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4. 导数的奇偶性

若函数可导，则有：

偶函数的导数是奇函数

\[f(x)\text{是偶函数} \Rightarrow f'(x)\text{是奇函数} \]

奇函数的导数是偶函数

\[f(x)\text{是奇函数} \Rightarrow f'(x)\text{是偶函数} \]

可以记为：

求一次导数，奇偶性发生一次变化。

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5. 对称区间上的定积分

在对称区间 \([-a,a]\) 上：

奇函数的积分

若 \(f(x)\) 是奇函数，则

\[\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0 \]

偶函数的积分

若 \(f(x)\) 是偶函数，则

\[\int_{-a}^{a}f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a}f(x)\,dx \]

记忆口诀：

奇函数积分为零，偶函数积分加倍。

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6. 常见奇函数和偶函数

常见奇函数

\[x,\quad x^3,\quad x^{2n+1},\quad \sin x,\quad \tan x \]

常见偶函数

\[1,\quad x^2,\quad x^{2n},\quad |x|,\quad \cos x \]

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7. 判断奇偶性的步骤

第一步：检查定义域

判断定义域是否关于原点对称。

如果定义域不关于原点对称，那么函数通常为非奇非偶函数。

第二步：计算 \(f(-x)\)

将原函数中的所有 \(x\) 替换为 \(-x\)。

第三步：比较结果

如果

\[f(-x)=f(x) \]

则 \(f(x)\) 是偶函数。

如果

\[f(-x)=-f(x) \]

则 \(f(x)\) 是奇函数。

如果两者都不成立，则 \(f(x)\) 是非奇非偶函数。

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8. 总结

\[\boxed{f(-x)=f(x)\Rightarrow f(x)\text{是偶函数}} \]

\[\boxed{f(-x)=-f(x)\Rightarrow f(x)\text{是奇函数}} \]

判断顺序：

先看定义域，再计算 \(f(-x)\)，最后比较。