欧几里得空间学习笔记

定义与基本性质

内积：\(V\) 是 \(\R\) 上一线性空间，在 \(V\) 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作 \((\alpha,\beta)\)。这样的线性空间称为欧几里得空间。

内积满足对称性，线性性，正定性。

举例：\(C(a,b)\) 中的 \((f,g)=\int_a^b{f(x)g(x)dx}\)。

\(\sqrt{(\alpha,\alpha)}\) 称为向量 \(\alpha\) 的长度，记为 \(|\alpha|\)。

长度为 1 的向量称为单位向量。

Cauchy-Bunjakovski不等式：对于任意的向量 \(\alpha,\beta\)，有 \(|(\alpha,\beta)|\le|\alpha||\beta|\)。等号成立 \(\iff\) \(\alpha,\beta\) 线性相关。

证明： 构造 \(\gamma=\alpha+t\beta\)，再利用内积的正定性。

非零向量 \(\alpha,\beta\) 的夹角 \(\langle\alpha,\beta\rangle=\arccos\frac{(\alpha,\beta)}{|\alpha||\beta|},\,\,0\le\langle\alpha,\beta\rangle\le\pi\)。

三角不等式：\(|\alpha+\beta|\le|\alpha|+|\beta|\)。

如果两向量内积为 0，则称两向量正交或互相垂直，夹角为 \(\frac{\pi}{2}\)，有勾股定理：\(|\alpha+\beta|^2=|\alpha|^2+|\beta|^2\)。

推广勾股定理：\(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\) 两两正交，则 \(|\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_m|^2=|\alpha_1|^2+|\alpha_2|^2+\ldots+|\alpha_m|^2\)。

证明： 展开后的交叉项都为 0，容易得证。

度量矩阵：设 \(V\) 是 \(n\) 维欧几里得空间，在 \(V\) 中取一组基。任取 \(V\) 中的向量 \(\alpha=\sum_{i=1}^{n}{x_i\varepsilon_i},\beta=\sum_{j=1}^{n}{y_j\varepsilon_j}\)。则 \((\alpha,\beta)=\sum_{1\le i,j\le m}{(\varepsilon_i,\varepsilon_j)x_ix_j}=X^TAY\)。矩阵 \(A\) 就称为 \(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n\) 的度量矩阵。满足 \(A_{ij}=(\varepsilon_i,\varepsilon_j)\)。

对于非零向量 \(\alpha\)，\((\alpha,\alpha)=X^TAX>0\)。可知度量矩阵 \(A\) 是正定的。

标准正交基

欧氏空间 \(V\) 中一组非零的向量，如果它们两两正交，则称为一正交向量组。

正交向量组是线性无关的。

\(n\) 维欧氏空间 \(V\) 中，由 \(n\) 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

标准正交基下内积 = \(X^TEY\) = \(X^TY\)

标准正交基下，\(\alpha=\sum_{i=1}^{n}{x_i\varepsilon_i}\)，则 \((\alpha,\varepsilon_i)=x_i(\varepsilon_i,\varepsilon_i)=x_i\)，即 \(\alpha=\sum_{i=1}^{n}{(\alpha,\varepsilon_i)\varepsilon_i}\)。

\(n\) 维欧氏空间 \(V\) 中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基。

对于 \(n\) 维欧氏空间 \(V\) 中任一组基 \(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n\)，都可找到一组标准正交基 \(\eta_1,\ldots,\eta_n\) 使得 \(L(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_i)=L(\eta_1,\ldots,\eta_i)\)。\(i=1,2,\ldots,n\) 成立。

Schmidt正交化

1. \(\xi_1=\varepsilon_1\)
2. \(\xi_2=\varepsilon_2-\frac{(\varepsilon_2,\xi_1)}{(\xi_1,\xi_1)}\xi_1\)
3. \(\xi_{m+1}=\varepsilon_{m+1}-\sum_{i=1}^{m}{\frac{(\varepsilon_{m+1},\xi_i)}{(\xi_i,\xi_i)}\xi_i}\)

这样得到的 \(\xi_1,\ldots,\xi_n\) 是一组正交基。最后令 \(\eta_i=\frac{\xi_i}{|\xi|}\) 即可。

取两组标准正交基。从 \(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n\) 到 \(\eta_1,\ldots,\eta_n\) 的过渡矩阵为 \(A\)。则 \(A\) 的第 \(i\) 列就是 \(\eta_i\) 在 \(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n\) 下的坐标。则 \(A\) 的第 \(i\) 列列向量和第 \(j\) 列列向量内积满足 \(\begin{cases} 1,& i = j \\ 0,& i \ne j \end{cases}\)，即 \(A^TA=E,A^{-1}=A^T\)。

\(n\) 阶实矩阵 \(A\) 称为正交矩阵，如果 \(A^TA=E\)。

标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。

标准正交基到另一组基的过渡矩阵是正交矩阵，则另一组基也是标准正交基。

\(A\) 的行向量组也是一组标准正交基 \((AA^T=E)\)。

同构

实数域 \(\R\) 上欧氏空间 \(V\) 与 \(V'\) 称为同构的，如果由 \(V\) 到 \(V'\) 有一个双射 \(\sigma\)，满足

1. \(\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)\)
2. \(\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha)\)
3. \((\sigma(\alpha),\sigma(\beta))=(\alpha,\beta)\)

其中 \(\alpha,\beta\in V,k\in \R\)，这样的映射 \(\sigma\) 称为 \(V\) 到 \(V'\) 的同构映射。

每个 \(n\) 维的欧氏空间都和 \(\R^n\) 同构。

证明： 定义映射 \(\sigma(\sum_{i=1}^{n}{x_i\alpha_i})=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\)。

同构映射具有

• 自反性：\(V\) 与自身同构。
• 对称性：\(\sigma:V\to V'\) 是同构，则 \(\sigma^{-1}:V'\to V\) 也是同构。
• 传递性：\(\sigma:V\to V',\tau:V'\to V''\) 是同构，则 \(\tau\sigma:V\to V''\) 也是同构。

两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相同。

证明： \(V_1,V_2\) 同构 \(\iff\) \(\R^n, \R^m\) 同构 \(\iff\) \(n=m\)。

正交变换

欧氏空间 \(V\) 的线性变换 \(\mathcal{A}\) 称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即任意 \(\alpha,\beta\in V\)，都有 \((\mathcal{A}\alpha,\mathcal{A}\beta)=(\alpha,\beta)\)。

设 \(\mathcal{A}\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 的一个线性变换，下列四个命题等价：

1. \(\mathcal{A}\) 正交变换。
2. \(\mathcal{A}\) 保持向量的长度不变。即任意 \(\alpha\in V,|\mathcal{A}\alpha|=|\alpha|\)。
3. 如果 \(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n\) 是标准正交基，则 \(\mathcal{A}\varepsilon_1,\ldots,\mathcal{A}\varepsilon_n\) 也是标准正交基。
4. \(\mathcal{A}\) 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。

正交变换是一个欧氏空间到自身的同构映射。（保持加法数乘内积）

正交变换与正交变换的乘积还是正交变换 \((\mathcal{A}\mathcal{B}\alpha,\mathcal{A}\mathcal{B}\beta)=(\alpha,\beta)\)。

选定一组标准正交基下，正交变换和正交矩阵一一对应。

正交矩阵的乘积和逆也是正交矩阵。

\(A\) 为正交矩阵，\(AA^T = E\)，两边取行列式得 \(|A|^2 = 1\)。

• \(|A| = 1\)，称为第一类正交矩阵，通常称为旋转。
• \(|A| = -1\)，称为第二类正交矩阵。如镜面反射 \(\mathcal{A}\varepsilon_i = \begin{cases} -\varepsilon_1, & i = 1 \\ \varepsilon_i, & i = 2, 3, \ldots, n \end{cases}\)。

子空间

设 \(V_1\), \(V_2\) 是欧氏空间 \(V\) 中两个子空间。如果对于任意的 \(\alpha \in V_1\), \(\beta \in V_2\),
恒有 \((\alpha, \beta) = 0\), 则称 \(V_1\), \(V_2\) 为正交的, 记为 \(V_1 \perp V_2\)。一个向量 \(\alpha\), 如果对于任意的 \(\beta \in V_1\), 恒有 \((\alpha, \beta) = 0\), 则称 \(\alpha\) 与子空间 \(V_1\) 正交, 记为 \(\alpha \perp V_1\)。

因为只有 \({0}\) 与它自身正交, 所以由 \(V_1 \perp V_2\) 可知 \(V_1 \cap V_2 = \{0\}\)。

如果子空间 \(V_1,V_2,\ldots,V_s\) 两两正交，则 \(V_1+V_2+\ldots+V_s\) 是直和。

证明： 可以取 \(\alpha_i\in V_i\)，设 \(\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_s=\mathbf{0}\)，用 \(\alpha_i\) 与等式两边作内积得 \((\alpha_i,\alpha_i)=0\)，则 \(\alpha_i=0\). 因此得证 \(V_1+V_2+\ldots+V_s\) 是直和。

子空间 \(V_2\) 称为子空间 \(V_1\) 的一个正交补，如果 \(V_1 \perp V_2\)，并且 \(V_1+V_2=V\)。

\(n\) 维欧氏空间 \(V\) 的每一个子空间 \(V_1\) 都有唯一的正交补。

\(V_1\) 的正交补记为 \(V_1^{\perp}\)，由定义得 \(\dim V_1+\dim V_1^{\perp}=n\)。

\(V_1^{\perp}\) 由所有与 \(V_1\) 正交的向量组成。

由 \(V = V_1 \oplus V_1^\perp\) 知任意 \(\alpha \in V\) 可唯一分解成 \(\alpha = \alpha_1 + \alpha_2\)，其中 \(\alpha_1 \in V_1\), \(\alpha_2 \in V_1^\perp\)。称 \(\alpha_1\) 为向量 \(\alpha\) 在子空间 \(V_1\) 上的内射影。

实对称矩阵的标准形

任意一个 \(n\) 阶实对称矩阵 \(A\)，都存在一个 \(n\) 阶正交矩阵 \(T\)，使得 \(T^TAT=T^{-1}AT\) 成标准形。

欧氏空间总满足 \((\mathcal{A}\alpha,\beta)=(\alpha,\mathcal{A}\beta)\) 的线性变换 \(\mathcal{A}\) 称为对称变换。

设 \(\mathcal{A}\) 是对称变换，\(V_1\) 是 \(\mathcal{A}\) - 子空间，则 \(V_1^{\perp}\) 也是 \(\mathcal{A}\) - 子空间。

对于任意一个 \(n\) 阶实对称矩阵 \(A\)，都存在一个 \(n\) 阶正交矩阵 \(T\)，使得 \(T^TAT=T^{-1}AT\) 成对角形。

正交矩阵 \(T\) 的求法

• 求出 \(A\) 的特征值，设 \(\lambda_1, \dots, \lambda_r\) 是 \(A\) 的全部不同特征值。

• 对每个 \(\lambda_i\) 解齐次线性方程组

  \[(\lambda_i E - A) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = 0 \]

  求出一个基础解系，就是 \(A\) 的特征子空间 \(V_{\lambda_i}\) 的一组基 \(\Rightarrow\) 一组标准正交基 \(\eta_{i1}, \dots, \eta_{ik_i}\)。

• 向量组 \(\eta_{11}, \dots, \eta_{1k_1}, \dots, \eta_{r1}, \dots, \eta_{rk_r}\) 两两正交，个数等于空间的维数，构成 \(\mathbb{R}^n\) 的一组标准正交基。这些特征向量作为列向量构成了正交矩阵 \(T\)。