MATLAB实例：Hermite插值多项式

MATLAB实例：Hermite插值多项式

作者：凯鲁嘎吉 - 博客园 http://www.cnblogs.com/kailugaji/

问题描述：清华大学出版社李庆扬《数值分析》第五版教材P49习题14：

求次数小于等于3的多项式P(x)，使其满足条件 P(0)=0, P’(0)=1, P(1)=1, P’(1)=2

1. MATLAB程序

Hermite_kailugaji.m

function f = Hermite_kailugaji(t,y,y_1,t0)
%t y为坐标向量 y_1为一阶导的值 t0为插值点的t坐标|| f0为t0对应的值
syms x;
f = 0.0;

if(length(t) == length(y))
    if(length(y) == length(y_1))
        n = length(t);
    else
        disp('y和y的导数的维数不相等！');
        return;
    end
else
    disp('x和y的维数不相等！');
    return;
end

for i=1:n
    h = 1.0;
    a = 0.0;
    for j=1:n
        if( j ~= i)
            h = h*(x-t(j))^2/((t(i)-t(j))^2);
            a = a + 1/(t(i)-t(j));
        end
    end
    
    f = f + h*((t(i)-x)*(2*a*y(i)-y_1(i))+y(i));

    
    if(i==n)
        if(nargin == 4)
            f = subs(f,'x',t0);
        else
            f = vpa(f,6);
        end
    end
end

demo.m

clear
clc
% 求次数小于等于3的多项式P(x)，使其满足条件
% P(0)=0, P’(0)=1, P(1)=1, P’(1)=2
x=[0 1];
y=[0 1];
y_1=[1 2];
%x, y为坐标向量, y_1为一阶导的值, x0为插值点的x坐标|| f0为x0对应的值
f=Hermite_kailugaji(x,y,y_1);
f=collect(f); % Matlab 合并同类项，将多项式化为一般式
fprintf('Hermite插值多项式为: y=%s\n', f);
f=Hermite_kailugaji(x,y,y_1,2);
fprintf('在x=2处的Hermite插值为: %f\n', f);

2. 结果

Hermite插值多项式为: y=x^3 - 1.0*x^2 + 1.0*x
在x=2处的Hermite插值为: 6.000000

提示：MATLAB多项式整理小技巧：collect()是化为一般式，factor()是因式分解，合并同类项。