2025.10

2025.10

月考结束！

数学109：（

在个册上发现一道好题！

题目

（此处省略二元函数定义）
\((3)\)\(f(x,y)\) 的定义域为 \(R\)，若 \(\exists h>0\)，对于 \(\forall x,y\in D\subseteq R\)，都有 \(f(x,y)\le f(x+h,y+h)\)，则称 \(f\) 在 \(D\) 上是关于 \(h\) 单调递增。已知 \(f(x,y)=kx-\frac{ay}{y^2+4}\) 在 \([1,2]\) 上是关于 \(a\) 单调递增，求实数 \(k\) 的取值范围。
式子很复杂，但也要无脑做：由题意得

\[f(x+a,y+a)-f(x,y)\ge 0 \]

把 \(f(x,y)=kx-\frac{ay}{y^2+4}\) 代进去得

\[k(x+a)-\frac{a(y+a)}{(y+a)^2+4}-ka+\frac{ay}{y^2+4}\ge 0 \]

整理（注意通分后 \(a,y\) 次数别算错了），得

\[k+\frac{a(y^2+ay-4)}{[(y+a)^2+4](y^2+4)}\ge 0 \]

口艾口牙，马亥歹匕我力
式子再恐怖，也要考虑化简。
回顾一下现在的问题：\(\forall y\in [1,2],\exists a\in (0,+\infty )\)，使得

\[k\ge-\frac{a(y^2+ay-4)}{[(y+a)^2+4](y^2+4)} \]

成立。
我们令

\[g(x)=\frac{a(y^2+ay-4)}{[(y+a)^2+4](y^2+4)},y\in[1,2],a>0 \]

对于任意 \(y\in[1,2]\)，说明我们要先考虑求出不等号右边式子的最大值，即 \(g(x)\) 的最小值来消去 \(y\)。
怎么消 \(y\) 呢？我们将分母展开一点：

\[g(x)=\frac{a(y^2+ay-4)}{(y^2+ay)^2+4[(y+a)^2+y^2]+16} \]

\[g(x)=\frac{a(y^2+ay-4)}{(y^2+ay)^2+8(y^2+ay+\frac{1}{2}a^2)+16} \]

好像产生了一个相同的整体 \(y^2+ay\)，让 \(t\) 等于它代进去试试（换元别忘了求范围：\(t\) 是一个二次函数，对称轴 \(-\frac{a}{2}<0\)，而 \(1>0\)，所以 \(t\) 取值范围为 \([a+1,2a+4]\)）：

\[g(x)=\frac{a(t-4)}{t^2+8t+4a^2+16} \]

标准的上一次下二次求最值，我们将分母配凑：

\[g(x)=\frac{a(t-4)}{(t-4)^2+16(t-4)+4a^2+64} \]

接下来就是求最值了。当 \(t-4=0\) 时，\(g(x)=\frac{1}{4a^2+64}\)；
当 \(t-4\neq 0\) 时，令 \(k=t-4 \in [a-3,2a]\)，分子分母同除 \(k\)，得：

\[g(x)=\frac{a}{k+\frac{4a^2+64}{k}+16} \]

极值点在 \(x=\pm 2\sqrt{a^2+16}\) 处， 显然 \(-2\sqrt{a^2+64}<a-3<2a<2\sqrt{a^2+16}\)，所以 \(g(x)\) 在 \([a-3,2a]\) 上单调递增。
所以原式最小值为

\[g(x)_{min}=g(a+3)=\frac{a(a-3)}{(a-3)^2+16(a-3)+4a^2+64} \]

\[g(x)_{min}=\frac{a^2-3a}{5(a^2+2a+5)} \]

豁然开朗。
接下来再看一下现在的问题：\(\exists a\in [0,+\infty]\)，使

\[k\ge-g(x)_{min}=-\frac{a^2-3a}{5(a^2+2a+5)} \]

成立。
我们再次令

\[h(a)=g(x)_{min}=\frac{a^2-3a}{5(a^2+2a+5)},a>0 \]

存在正数 \(a\)，说明我们要考虑求出不等式右边最小值，即 \(h(x)\) 的最大值来消去 \(a\)，求出答案。
先对分子配凑

\[h(a)=\frac{a^2+2a+5-5a-5}{5(a^2+2a+5)} \]

\[h(a)=\frac{1}{5}-\frac{a+1}{a^2+2a+5} \]

又是上一次下二次的配凑

\[h(a)=\frac{1}{5}-\frac{a+1}{(a+1)^2+4} \]

这里直接用传统法不完全对，因为对勾函数只有当定义域为 \([0,+\infty]\) 时才在 \(\sqrt{a}\) 处取最小值，此时对勾函数恒为正，而 \(h(a)\) 不一定为正，所以当 \(h(a)>0\) 时，\(a^2-3a>0\)，所以 \(a>3\)，此时

\[h(a)=\frac{1}{5}-\frac{1}{a+1+\frac{4}{a+1}}\in(0,\frac{1}{5}) \]

所以 \(h(a)\) 取值范围为 \((-\infty ,\frac{1}{5})\)
所以

\[k\ge-h(a)_{max}=-\frac{1}{5} \]

后记

这道题其实是一道双变量不等关系，主要难点是不要被复杂的式子吓到，如果能想到换元 \(t\) 就不是很难了。同时每次求最值都要注意不同的细节，一点范围上的错误就会导致整道题答案错误。

希望期中数学好一点。。。