【实变函数】实变函数中的特例、反例1

实变函数中的特例、反例1

主题：集合与映射

集合间的关系

差与交的分配关系：

\[A\cap (B\setminus C)=(A\cap B)\setminus (A\cap C),\\ A\setminus (B\cap C)\supset (A\setminus B)\cap (A\setminus C). \]

先证明交对差具有分配率。\(x\in A\cap (B\setminus C)\)，这意味着\(x\in A,x\in B\)但\(x\notin C\)，故\(x\in A\cap B\)但\(x\notin A\cap C\)；反过来，若\(x\in A\cap B\)但\(x\notin A\cap C\)，则\(x\in A,x\in B\)但\(x\notin C\)。

再证明下面的包含关系。\(x\in (A\setminus B)\cap (A\setminus C)\)，这意味着\(x\in A\setminus B\)且\(x\in A\setminus C\)，也就是\(x\in A\)但\(x\notin B,x\notin C\)，从而\(x\notin B\cap C\)，结合\(x\in A\)有\(x\in A\setminus (B\cap C)\)。

下面的等式不成立是因为\(x\notin B\cap C\nRightarrow x\notin B,x\notin C\)，因此只要\(B,C\)不相互包含，这个等式就不成立。取\(A=\mathbb{R}\)，\(B=\mathbb{R}^+\)，\(C=\mathbb{R}^-\)，则

\[A\setminus(B\cap C)=\mathbb{R},\\ (A\setminus B)\cap (A\setminus C)=\{0\}. \]

并对于差没有分配关系：

\[A\cup(B\setminus C)\supset (A\cup B)\setminus (A\cup C),\\ A\setminus(B\cup C)\subset (A\setminus B)\cup (A\setminus C). \]

先证明上面的包含关系。\(x\in (A\cup B)\setminus (A\cup C)\)，首先\(x\notin A\)，于是有\(x\in B,x\notin C\)，于是\(x\in B\setminus C\)，即\(x\in A\cup(B\setminus C)\)。要证伪，只需让\(A\)与\(B\setminus C\)没有包含关系，取\(A=\{0\}\)，\(B=\{2,3\}\)，\(C=\{3\}\)，则

\[A\cup (B\setminus C)=\{0,2\},\quad (A\cup B)\setminus (A\cup C)=\{2\}. \]

再证明下面的包含关系。\(x\in A\setminus (B\cup C)\)，必然\(x\notin B\cup C\)且\(x\in A\)，所以\(x\in A\setminus B\)或\(x\in A\setminus C\)，但反之，由\(x\notin B\)或\(x\notin C\)不能推出\(x\notin B\cup C\)。取\(A=\{1,2\}\)，\(B=\{1\}\)，\(C=\{2\}\)，则

\[A\setminus(B\cup C)=\varnothing,\quad (A\setminus B)\cup (A\setminus C)=\{1,2\}. \]

对称差与交、并的分配关系：

\[A\cap(B\triangle C)=(A\cap B)\triangle (A\cap C),\\ A\triangle(B\cap C)\supset (A\triangle B)\cap (A\triangle C),\\ A\cup (B\triangle C)\supset (A\cup B)\triangle (A\cup C),\\ A\triangle (B\cup C)\subset (A\triangle B)\cup (A\triangle C). \]

对第一个等式证明。\(x\in A\)且\(x\in B\triangle C\)，有两种情况：\(x\in A,x\in B,x\notin C\)和\(x\in A,x\notin B,x\in C\)，容易验证这两种情况，都有\(x\in (A\cap B)\triangle (A\cap C)\)。反之，\(x\in (A\cap B)\triangle (A\cap C)\)，则\(x\in A\cap B,x\notin A\cap C\)或\(x\notin A\cap B,x\in A\cap C\)，分别对应\(x\in A,x\in B,x\notin C\)和\(x\in A,x\notin B,x\in C\)。

对第二个包含关系证明。\(x\in (A\triangle B)\cap (A\triangle C)\)，有\(x\in A,x\notin B,x\notin C\)或者\(x\notin A,x\in B,x\in C\)，这意味着\(x\in A\triangle (B\cap C)\)。反例与\(x\notin B\cap C\nRightarrow x\notin B,x\notin C\)一致。

对第三个包含关系证明。\(x\in(A\cup B)\triangle (A\cup C)\)，必有\(x\notin A\)，从而\(x\in B,x\notin C\)或\(x\notin B,x\in C\)，这等价于\(x\in B\triangle C\)。反例只要找到\(A\)与\(B\triangle C\)没有包含关系的即可。

对第四个包含关系证明。\(x\in A\triangle(B\cup C)\)，若\(x\in A\)，则\(x\notin B\cup C\)，所以\(x\in A\triangle B\)且\(x\in A\triangle C\)，若\(x\in (B\cup C)\)，则\(x\notin A\)，从而必有\(x\in A\triangle B\)或者\(x\in A\triangle C\)成立。取\(A=\{1,2\}\)，\(B=\{1\}\)，\(C=\{2\}\)，则

\[A\triangle (B\cup C)=\varnothing,\quad (A\triangle B)\cup (A\triangle C)=\{1,2\}. \]

集合的势不能轻易用于运算：现\(|A|=|B|\)，\(|C|=|D|\)，但

\[|A\cup C|\ne |B\cup D|,\quad |A\cap C|\ne |B\cap D|,\quad |A\setminus C|\ne |B\setminus D|,\\ A\supset C,B\supset D,\quad |A\setminus C|\ne |B\setminus D|. \]

取\(A=B=C=\{1\}\)，\(D=\{2\}\)，则第一行三个不等号都成立。

第二行中，取\(A=B=\mathbb{N}^+\)，\(C=\{2,3,\cdots\}\)，\(D=\{3,4,\cdots\}\)，则

\[A\setminus C=\{1\},\\ B\setminus D=\{1,2\}. \]

映射

设有映射\(f:X\to Y\)，\(A\subset X,B\subset Y\)，则

\[f(f^{-1}(B))=B,\\ f^{-1}(f(A))\supset A. \]

证明第一个等式。\(y\in B\)，则存在某个\(x\in f^{-1}(B)\)使得\(f(x)=y\)，从而\(y=f(x)\in f(f^{-1}(B))\)。若\(y\in f(f^{-1}(B))\)，则也是存在某个\(x\in f^{-1}(B)\)使得\(f(x)=y\)，从而\(f(x)=y\in B\)。

证明第二个包含关系，\(x\in A\)，则\(f(x)\in f(A)\)，因此\(x=f^{-1}(f(x))\in f^{-1}(f(A))\)。但如果\(x\in f^{-1}(f(A))\)，则能够找到\(y\in f(A)\)使得\(x=f^{-1}(y)\)，但不一定有\(x\in A\)，因为可能存在另一个\(z\in A\)使得\(f(z)=y\)。

务必注意，这里的\(f^{-1}\)并不指逆映射，而是指原像集。导致这里的等式不成立的原因是一个像未必只对应一个原像，故取一个非单的映射即可，如\(f(x)=x^2\)，\(A=[0,1]\)，则\(f(A)=[0,1]\)，但

\[f^{-1}(f(A))=[-1,1]\supset [0,1]=A. \]

映射的像集不能直接作用在集合运算上，只能作用于并集，但是原像可以：

\[f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2),\\ f(A_1\cap A_2)\subset f(A_1)\cap f(A_2),\\ f(A_1\setminus A_2)\supset f(A_1)\setminus f(A_2). \]

证明第一个等式。\(y\in f(A_1\cup A_2)\)，则存在某个\(x\in A_1\cup A_2\)使得\(y=f(x)\)，从而\(f(x)\in f(A_1)\)或\(f(x)\in f(A_2)\)。反之，若\(y\in f(A_1)\cup f(A_2)\)，则存在\(x\in A_1\)使\(f(x)=y\)，或者\(x\in A_2\)使得\(f(x)=y\)，故\(y\in f(A_1\cup A_2)\)。

证明第二个包含关系。\(y\in f(A_1\cap A_2)\)，则存在某个\(x\in A_1\cap A_2\)使得\(y=f(x)\)，从而\(y\in f(x_1)\)且\(y\in f(x_2)\)。但反之，可以在\(A_1\)中找到\(x_1\)，在\(A_2\)中找到\(x_2\)使得\(y=f(x_1)=f(x_2)\)，故不一定有\(y\in f(A_1\cap A_2)\)。反例是对于映射\(f(x)=x^2\)，\(A_1=[-1,0]\)，\(A_2=[0,1]\)，从而

\[f(A_1\cap A_2)=\{0\},\\ f(A_1)\cap f(A_2)=[0,1]. \]

证明第三个包含关系。\(y\in f(A_1)\setminus f(A_2)\)，可以找到某个\(x_1\in A_1\)使得\(y=f(x_1)\)，但在\(A_2\)中无法找到\(x_2\)使得\(y=f(x_2)\)，从而自然有\(x_1\in A_1\setminus A_2\)，故\(y\in f(A_1\setminus A_2)\)。但反之，如果能找到某个\(x\in A_1\setminus A_2\)使得\(f(x)=y\)，却可以在\(A_2\)中找到另外的元素\(x_2\)使得\(y=f(x_2)\)。上题的反例依然适用。