【实变函数】证明（一）

证明1

1-1

若\(E\)是开集，则\(E^c\)是闭集。

设\(\{x_k\}\in E^c\)使得\(x_k\to y\)。若\(y\in E\)，则因\(E\)是开集，存在某\(B_r(y)\subset E\)，从而有\(x_k\in B_r(y)\)，这与\(x_k\in E^c\)矛盾。

1-2

Cantor集是完全不连通的完备集。

由Cantor集的构造，我们知道对于\(C_k\)，其每一个小区间的长度小于\(\dfrac{1}{3^k}\)。

不连通性：对任何\(x<y\in E\)，它们之间的距离为\(d(x,y)>0\)，故必定存在某\(k\)，使得\(d(x,y)>\dfrac{1}{3^k}\)，也就是说\([x,y]\nsubseteq C_k\)，自然存在某\(z\in [x,y]\)使得\(z\notin C_k\)，于是\(z\notin C\)。

没有孤立点：对任何\(x\in E\)，我们知道它必然存在于某个闭区间列中，而由Cantor集的构造过程，我们知道在第\(k\)步保留的闭区间某侧的\(\dfrac{1}{3^{k-1}}\)距离以内，必存在另一个与之相对称的闭区间。现对任何\(\delta>0\)，必定存在某个\(k\)使\(\delta>\dfrac{1}{3^{k-1}}\)，因此在第\(k\)步中分划出两个闭区间套，其中一个最终包含\(x\)，另一个将最终包含另一个\(y\in E\)，而\(d(x,y)<\dfrac{1}{3^{k-1}}<\delta\)。

1-3

\(\mathbb{R}^2\)上的开圆盘不能表示为开矩形的不交并。

设开圆盘为\(O\)，有开矩形列\(G_k\)使得\(\displaystyle{O=\bigcup_{k=1}^{\infty}G_k}\)。显然\(G_1\ne O\)，因此必定存在一个点\(x\in O\)，使得\(\forall \delta>0\)，有\(B_{\delta}(x)\cap G_1\ne \varnothing\)。这样由于\(G_k\)两两不交，\(x\)将不能够包含在其他的开集\(G_k\)中。

1-4

若\(f(x)\)是定义在开集\(G\subset \mathbb{R}^n\)上的实值函数，则\(f\)的连续点集是\(G_{\delta}\)集。

引入\(f\)在\(x\)的振幅为\(\omega_f(x)\)，即

\[\omega_f(x)=\lim_{h\to 0}\left(\sup_{B_h(x)}f-\inf_{B_h(x)}f \right), \]

则\(f\)在\(x\)处连续等价于\(\omega_f(x)=0\)，故连续点集为

\[\bigcap_{k=1}^{\infty}\left\{x\in G:\omega_f(x)<\frac{1}{k}\right\}. \]

事实上每一个这样的集合都是开集，所以连续点集是\(G_{\delta}\)集。

1-5

若\(f\)是\(\mathbb{R}\)上的连续函数，则\(f\)的可微点集是\(F_{\sigma\delta}\)集（可数个\(F_{\sigma}\)集的交）。

令

\[A=\left\{a:\varliminf_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<\varlimsup_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \right\},\\ B=\left\{a:\varlimsup_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\infty \right\},\\ C=\left\{a:\varliminf_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=-\infty \right\}. \]

则\(A\cup B\cup C\)为不可微点集。令\(\mathbb{Q}\)是\(\mathbb{R}\)中的有理数集，则

\[A=\bigcup_{r,R\in\mathbb{Q},R>r}\left(\left\{a:\varliminf_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le r \right\}\bigcap\left\{a:\varlimsup_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge R \right\} \right),\\ B=\bigcap_{r\in\mathbb{Q}}\left\{a:\varlimsup_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge R \right\},\\ C=\bigcap_{r\in\mathbb{Q}}\left\{a:\varliminf_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le r \right\}. \]

而

\[\left\{a:\varliminf_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le r \right\}=\bigcap_{n,k=1}^{\infty}\left\{a:\exists x\in B^{\circ}_{1/n}(a),\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<r-\frac{1}{k} \right\},\\ \left\{a:\varliminf_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge R \right\}=\bigcap_{n,k=1}^{\infty}\left\{a:\exists x\in B^{\circ}_{1/n}(a),\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>R-\frac{1}{k} \right\}, \]

由\(f\)的连续性，最后的集合是开集，从而不可微点集是可数个\(G_{\delta}\)集的并，可微点集就是可数个\(F_{\sigma}\)集的交。

1-6

设\(E\subset \mathbb{R}^n\)，证明以下两个结论等价：

1. \((\overline{E})^{\circ}=\varnothing\)。
2. 对\(\mathbb{R}^n\)的任何一个非空开子集\(G\)，存在\(x\in G\)以及\(\varepsilon>0\)使得\(B_{x}(\varepsilon)\)中不含\(E\)的点。

\(1\to 2\)：

若\(E\)的闭包不含内点，则对\(\mathbb{R}^n\)的任何一个非空开子集\(G\)，\(G-\overline{E}\ne \varnothing\)，否则\(G\subset\overline{E}\)，而\(G\)有内点，这与\(\overline{E}\)无内点相矛盾。而\(G\)是开集，\(\overline{E}\)是闭集，故\(U=G-\overline{E}\)是开集，存在某个\(x_0\in U\)和\(\varepsilon_0\)，使得\(B_{\varepsilon_0}(x_0)\subset U\)，而\(U\)中不含\(\overline{E}\)的点，即\(B_{\varepsilon_0}(x_0)\)中不含\(E\)的点。

\(2\to 1\)：

用反证法，假设\(\overline{E}\)有内点，即包含了某个开球\(B(x,\varepsilon)\)，则\(B(x,\varepsilon)\)中一定含有\(E\)的点，否则\(x\)不是\(E\)的极限点，也即\(x\notin E,x\notin E'\)。这与我们的假设矛盾。

1-7

设\(\{G_k\}\)是\(\mathbb{R}^n\)中的稠密开集列，则\(\displaystyle{G_0=\bigcup_{k=1}^{\infty}G_k}\)在\(\mathbb{R}^n\)中稠密。

只需指出对\(\mathbb{R}^n\)中任一闭球\(\overline{B}=\overline{B_{\delta}(x)}\)，均有\(G_0\cap \overline{B}\ne \varnothing\)。假设存在某闭球\(\overline{B_0}=\overline{B_{\delta_0}(x_0)}\)，使得\(G_0\cap \overline{B_0}=\varnothing\)，则

\[\mathbb{R}^n=(G_0\cap \overline{B_0})^c=G_0^c\cup(\overline{B}_0)^c,\\ \overline{B_0}=\mathbb{R}^n\cap \overline{B_0}=\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}G_k \right)^c\cap \overline{B_0}=\bigcup_{k=1}^{\infty}(G_k^c\cap \overline{B_0}). \]

注意到\(G_k^c\)是无内点的闭集，所以由Baire定理，\(\overline{B_0}\)也是无内点的闭集，这显然是矛盾的。