线性代数应该这样学4：线性映射，单射与满射，零空间与像空间，线性映射基本定理
在本系列中，我的个人见解将使用斜体标注。每篇文章的最后，我将选择摘录一些例题。由于文章是我独自整理的，缺乏审阅，难免出现错误，如有发现欢迎在评论区中指正。
Part 1：线性映射
线性映射让线性代数不再是静态的一门学科，有了线性映射，线性空间中的向量就可以动起来。这一章同时也在告诉读者，向量不只是狭义的数组。
线性映射(linear map) 从\(V\)到\(W\)的线性映射是具有下列性质的函数\(T:V\to W\)：
- 加性(additivity)：\(\forall u,v\in V\)，有\(T(u+v)=Tu+Tv\)。
- 齐性(homogeneity)：\(\forall \lambda \in\mathbb{F}\)和\(v\in V\)，有\(T(\lambda v)=\lambda (Tv)\)。
注意线性映射的加性和齐性是缺一不可的，它们并没有相互包含的关系。
线性映射的集合 \(\mathcal L(V,W)\)代表从\(V\)到\(W\)的所有线性映射。
在\(\mathcal L(V,W)\)中，每一个线性映射\(T\)是一个集合内的元素，要搞清楚集合的基本元素是什么。
由于\(V,W\)都是线性空间，所以不可避免地要讨论线性空间的维数和基。可以直观地想象一下，如果一个线性映射\(T\)确定了集合中每一个基向量\(v_1,\cdots,v_n\)的取值，那么\(V\)中的任何向量\(v\)在\(W\)中的像\(Tv\)也随之确定，因为\(v\)只能由\(v_1,\cdots,v_n\)唯一表示。这个性质直接引出了下面的定理。
线性映射与基 设\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的基，\(w_1,\cdots,w_n\in W\)，则存在唯一一个线性映射\(T:V\to W\)使得对任意\(j=1,\cdots,n\)，都有
这里需要先说明两个线性映射相等指的是什么，如果两个线性映射把任意\(V\)中的\(v\)都映射到同一个像上，就称它们是同一个线性映射。从我们刚才的分析来看，只要两个线性映射对所有基的成像都相同，它们就是同一个线性映射。
首先证明这样的线性映射存在。定义\(T\)为
\[T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=c_1w_1+\cdots+c_nw_n, \]显然只要取\(c_i=1\)，当\(j\ne i\)时\(c_j=0\)，就有\(Tv_j=w_j\)。下验证\(T\in\mathcal L(V,W)\)，即满足加性和齐性。首先\(\forall \lambda \in\mathbb{F}\)，\(v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n\)，有
\[T(\lambda v)=T(\lambda c_1v_1+\cdots+\lambda c_nv_n)=\lambda T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=\lambda Tv, \]另外对于\(u=a_1v_1+\cdots+a_nv_n\)，有
\[T(u+v)=(a_1+c_1)Tv_1+\cdots+(a_n+c_n)Tv_n=Tu+Tv. \]这里写得很简略，展开以后可以立即得出，就不详叙了。接下来要证明这样的线性映射是唯一的，即任何\(S\in \mathcal L(V,W)\)，如果它满足\(Sv_j=w_j\)，则\(\forall v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n\)，有
\[Sv=c_1Sv_1+\cdots+c_nSv_n=c_1w_1+\cdots+c_nw_n=Tv, \]故\(S=T\)。
刚才我们所构建的\(\mathcal L(V,W)\)只是一个集合，一个集合如果不具有运算，那么集合内部就没有结构，只是一个元素的集合体。现在，我们可以给\(\mathcal L(V,W)\)内定义运算，从而使它具有更多的性质。
\(\mathcal L(V,W)\)上的加法和标量乘法：
-
定义\(S+T\)为\(V\)到\(W\)的线性映射，满足对一切\(v\)都有
\[(S+T)v=Sv+Tv. \] -
定义\(\lambda T\)是\(V\)到\(W\)的线性映射，满足对一切\(v\)都有
\[(\lambda T)v=\lambda (Tv). \]
这里需要思考，这样定义出来的\(S+T\)与\(\lambda T\)是否是线性映射（实际上肯定是，但是需要验证）。同时，要将\(\mathcal L(V,W)\)上的加法、标量乘法与线性映射的加性、齐性区分开，这两个是完全不同的东西。
加上了定义之后，我们可以验证\(\mathcal L(V,W)\)是一个线性空间。回顾线性空间的定义条件，加法、乘法、交换性、结合性、分配性质都是容易验证的，乘法单位元也是显然的，而加法单位元应该是\(0\)映射：\(\forall v,0v=0\)。要注意，这里第一个\(0\)既不是\(0\)向量，也不是标量\(0\)，而是一个线性映射：\(0\in\mathcal L(V,W)\)，它将\(v\)上的所有向量映射到\(W\)空间的加法单位元\(0\)。
线性映射的乘积(product of linear maps) 若\(L\in\mathcal L(U,V)\)，\(S\in\mathcal L(V,W)\)，则定义线性映射的乘积\(ST\)为：
注意到，如果我们把每一个线性映射看成线性空间里的一个向量，一般的向量乘积是没有定义的，但线性映射却可以定义乘积，这是它与一般向量的不同之处。实际上，线性映射也属于特殊的一种函数，所以线性映射的乘积等价于函数的复合。
\(ST\)是线性映射：线性映射的乘积仍然是一个线性映射。
\(\forall u_1,u_2\in U\)，\(\lambda \in\mathbb{F}\)，
\[ST(u_1+u_2)=S[T(u_1+u_2)]=S(Tu_1+Tu_2)=STu_1+STu_2,\\ ST(\lambda u)=S[T(\lambda u)]=S[\lambda (Tu)]=\lambda S(Tu)=\lambda STu. \]故\(ST\)作为映射满足加性和齐性，是线性映射。
我们把线性映射看成一个向量，但是相乘的两个向量并不属于同一个向量空间，乘出的结果也并不属于原来两个向量空间之一（广义来说，即不考虑\(\mathcal L(V,V)\)的特例），所以它与线性空间中定义的加法又不属于同一种运算类型。
线性映射乘积的代数性质 以下性质有助于对线性映射进行复合。
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结合性(associativity)：如果以下乘积都是有意义的，则
\[(T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3). \]这里\(T_1,T_2\)和\(T_3\)都是线性映射。
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单位元(identity)：存在恒等映射\(I_V,I_W\)，使得\(\forall T\in\mathcal L(V,W)\)，
\[I_WT=TI_V=T. \]在学习的初级阶段，写出映射乘积的存在条件还是很有必要的。
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分配性质(distributive properties)：对\(T,T_1,T_2\in\mathcal L(U,V)\)，\(S,S_1,S_2\in\mathcal L(V,W)\)，成立
\[(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T,\\ S(T_1+T_2)=ST_1+ST_2. \]
一般要注意，线性映射的乘法不可交换，即对于一般函数也有\(f[g(x)]\ne g[f(x)]\)一样。对于那些特别可交换的线性映射对，称它们为可交换的。
结合性：\(\forall v\)，这里\(v\)落在\(L_3\)的定义域内，则
\[(T_1T_2)T_3v=(T_1T_2T_3)v=T_1(T_2T_3)v, \]故结合性成立。这里的每个等号都是基于线性映射乘法的定义的，不妨回顾一下。
单位元：\(\forall v\in V\)，
\[I_WTv=I_W(Tv)=Tv,\\ TI_V v=T(I_Vv)=Tv, \]故\(I_WT=TI_V=T\)。
分配性质：\(\forall v\in V\)，
\[(S_1+S_2)Tv=(S_1+S_2)(Tv)=S_1Tv+S_2Tv=(S_1T+S_2T)v,\\ S(T_1+T_2)v=S(T_1v+T_2v)=ST_1v+ST_2v=(ST_1+ST_2)v. \]对于第一行，第一个等号是线性映射乘法定义，第二个等号是线性映射加法定义，第三个等号是映射的线性性。对于第二行，第一个等号是线性映射加法定义，第二个等号是映射的线性性，第三个等号也是线性映射加法定义。
最后书上给出一个实用的定理，这个定理常常可以直接证明映射不是线性的。
线性映射对加法单位元 若\(T\in\mathcal L(V,W)\)，则\(T(0)=0\)。
\[T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0), \]故\(T(0)=0\)。
Part 2：零空间与值域
可以说，本节中提到的零空间、值域、单射满射都是彼此相连的一个整体，它们之间具有许多联系，共同构成线性映射的结构基础。
零空间(null space) 对于\(T\in\mathcal L(V,W)\)，\(T\)的零空间指的是\(V\)中那些被\(T\)映射为\(0\)的向量构成的集合：
零空间也被称为核空间(kernel)。
零空间之所以能被称为空间，是因为零空间也是一个向量空间，满足加法与标量的封闭性。显然，如果零空间不是线性空间，也没有研究它的价值。
零空间是子空间 设\(T\in\mathcal L(V,W)\)，则\(\mathrm{null}T\)是\(V\)的子空间。
设\(u,v\in\mathrm{null}T\)，则
\[T(u+v)=Tu+Tv=0,\quad u+v\in\mathrm{null}T. \]对于\(\lambda \in\mathbb{F}\)，有
\[T(\lambda v)=\lambda Tv=0,\quad \lambda v\in\mathrm{null}T. \]最后，由于\(T(0)=0\)，所以\(0\in\mathrm{null}T\)。向量空间的三大条件得以验证。
单射(injective) 如果\(Tu=Tv\Leftrightarrow u=v\)，则称\(T\in\mathcal L(V,W)\)是单射。
单射的概念很重要，联想能够一一确定自变量和因变量的函数——可逆函数，它与单射就很类似。
单射的等价条件 设\(T\in\mathcal L(V,W)\)，则\(T\)是单射等价于\(\mathrm{null}T=\{0\}\)。
这是一个十分重要的定理。
已有\(\{0\}\subset\mathrm{null}T\)。当\(T\)是单射时，\(\forall v\in \mathrm{null}T\)，有
\[Tv=0=T0, \]结合单射性就得到\(v=0\)，即\(\mathrm{null}T= \{0\}\)。
反之，若\(\mathrm{null}T=0\)，则\(\forall u,v\in V\)，如果\(Tu=Tv\)，则
\[Tu-Tv=T(u-v)=0, \]故\(u-v=0\)，得到\(u=v\)，从而证明\(T\)是单射。
值域(range) 对于\(T\in\mathcal L(V,W)\)，称\(V\)的值域为所有形如\(Tv(v\in V)\)的向量构成的集合，即
自然地，值域也应该是一个子空间，但注意对象不同。显然每一个\(Tv\in W\)，所以值域是\(W\)的子空间而不是\(V\)的，这点与零空间不同。
值域是子空间 设\(T\in\mathcal L(V,W)\)，则\(\mathrm{range}T\)是\(W\)的子空间。
这个证明虽然简单，但又和零空间的有一些不同。
若\(w_1,w_2\in\mathrm{range}T\)，则\(\exists v_1,v_2\in V\)，\(Tv_1=w_1,Tv_2=w_2\)，则
\[w_1+w_2=Tv_1+Tv_2=T(v_1+v_2), \]由于\(v_1+v_2\in V\)，所以\(w_1+w_2\in \mathrm{range}T\)。同理
\[\lambda w_1=\lambda Tv_1=T(\lambda v_1)\in\mathrm{range}T, \]又因为\(T(0)=0\)，所以\(0\in\mathrm{range}T\)。向量空间的三个条件得以验证。
满射(surjective) 设\(T\in\mathcal L(V,W)\)，如果\(\mathrm{range}T=W\)，则称\(T\)是满射。
单射可以类比一一映射，满射则相当于将映射的值域扩充满了，二者一结合，就能得到全空间上的一一映射。
需要注意的是，如果\(W'\)是\(W\)的非平凡子空间，\(T\in\mathcal L(V,W')\)是满的很可能不意味着\(T\in\mathcal L(V,W)\)上也是满的，即使对\(T\)作解析延拓也不一定，这是因为\(\mathrm{range}T\)受到\(V\)的维数限制，我们可以很容易地证明这一点。
事实上，我们前面得出了单射与零空间的关系，这里得出了满射与像空间（值域）的关系，这两组关系在形式上对偶，不妨将\(Tu=Tv\Leftrightarrow u=v\)看作单射的衍生性质，而从零空间的角度定义它，这样显得更统一，不过这让“单射”的名字没有那么写实了。
线性映射基本定理 设\(V\)是有限维的，\(T\in\mathcal L(V,W)\)，则\(\mathrm{range}T\)是有限维的，且
这个定理揭示了线性映射结构的本质关系——它只会造成信息的丢失，而不会造成信息的增加，因为\(T(0)=0\)，而零空间的维数就是信息丢失多少的量度。
设\(u_1,\cdots,u_m\)是\(\mathrm{null}T\)的基，则\(\dim \mathrm{null}T=m\)。这组基可以扩充成\(V\)的基：
\[u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_n,\quad \dim{V}=m+n. \]如果等式成立，则\(\dim\mathrm{range}T=n\)，自然会猜想\(Tv_1,\cdots,Tv_n\)是\(\mathrm{range}T\)的基，这包括张成性与线性无关性两方面。
先证张成性，\(\forall v\in V\)，有
\[v=a_1u_1+\cdots+a_m u_m+b_1v_1+\cdots+b_nv_n, \]故
\[Tv=T\left(\sum_{j=1}^m a_ju_j+\sum_{j=1}^n b_jv_j \right)=\sum_{j=1}^nb_j Tv_j, \]因此\(Tv_1,\cdots,Tv_n\)张成\(\mathrm{range}T\)。
再证线性无关，令
\[a_1Tv_1+\cdots +a_nTv_n=0, \]则
\[T\left(\sum_{j=1}^n a_jv_j\right)=0,\quad \sum_{j=1}^n a_j v_j\in\mathrm{null}T, \]所以
\[\sum_{j=1}^n a_jv_j=\sum_{j=1}^m b_ju_m, \]移项后得到\(a_1=\cdots=a_n=b_1=\cdots=b_m=0\)，线性无关性得证。
对比线性映射基本定理与和空间维数公式的证明过程，读者应该能捕捉到二者之间的共同点。
由线性映射基本定理，直接得到两个推论：
- 到更小维数向量空间的线性映射不是单射。
- 到更大维数向量空间的线性映射不是满射。
由此结论建立线性方程组求解的关系，是一个直接的推论。事实上，线性方程组的本质就是我们在例题1中提到的\(T\in\mathcal L(\mathbb{F}^n,\mathbb{F}^m)\)，\(n\)是变量个数，\(m\)是约束条件个数，在这里就不展开了。
例题
3.A部分的例题比较简单，毕竟还是围绕着有限维向量空间的线性映射，只要别忘了有限维向量空间的基就好。3.B部分的例题则主要围绕着线性映射基本定理，还有一些维数的基本关系，只要会利用\(V\)和\(W\)的基构造满足条件的线性映射（构造的存在性由“线性映射与基”结论保证），问题基本可以迎刃而解。
第一题（3.A 3） 设\(T\in\mathcal L(\mathbb{F}^n,\mathbb{F}^m)\)，证明存在标量\(A_{j,k}\in\mathbb{F}\)，其中\(j=1,\cdots,m\)，\(k=1,\cdots,n\)，使得对任意\((x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{F}^n\)都有
这题看起来无从入手，但是线性代数嘛，既然是有限维向量空间，那就有穷举的机会，莽就完事了。
取\(V\)的一组自然基\(e_1,\cdots,e_n\)，它在\(T\)下必然拥有一个像，故设
\[T(e_i)=(A_{1,i},A_{2,i},\cdots,A_{m,i}), \]由于\(V\)中的每一个向量都可以被这组基线性表示，不妨设
\[v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n, \]则由\(T\)的线性性，
\[\begin{aligned} T(v)&=T(x_1e_1+\cdots+x_ne_n)\\ &=T(x_1,\cdots,x_n)\\ &=x_1T(e_1)+\cdots+x_nT(e_n)\\ &=(A_{1,1}x_1+\cdots+A_{1,n}x_n,\cdots,A_{m,1}x_1+\cdots+A_{m,n}x_n). \end{aligned} \]由\(v\)的任意性，结论得证。
第二题（3.A 14） 设\(V\)是有限维的且\(\dim{V}\ge2\)，证明存在\(S,T\in\mathcal L(V,V)\)，使得\(ST\ne TS\)。
这题的关键信息在于\(\dim{V}\ge 2\)，因而可以找到两个线性无关向量，围绕他们进行一波构造就可以推出找到这样的\(S,T\)。
设\(v_1,v_2\)是\(V\)中两个线性无关的向量，因为\(\dim V\ge 2\)，所以这样的两个向量是可以找到的。
令
\[Tv_1=v_2,\quad Sv_1=v_1+v_2,\\ Tv_2=0,\quad Sv_2=v_1. \]则
\[STv_1=Sv_2=v_1,\\ TSv_1=T(v_1+v_2)=v_2, \]由\(v_1,v_2\)的线性无关性，得到\(STv_1\ne TSv_1\)，即\(ST\ne TS\)。
第三题（3.B 22） 设\(U,V\)都是有限维向量空间，并设\(S\in \mathcal L(V,W)\)，\(T\in\mathcal L(U,V)\)，证明：
万变不离其宗，基扩充在证明维数不等式上依然是永远的神。
首先要注意到\(\mathrm{null}T\subset\mathrm{null}(ST)\)。设\(u_1,\cdots,u_m\)是\(\mathrm{null}T\)的基，如果\(\mathrm{null}T=\mathrm{null}(ST)\)，则不等式已经成立。假设二者不等，则可以扩充为\(\mathrm{null}(ST)\)的基：
\[u_1,\cdots,u_m,u_{m+1},\cdots,u_{n}. \]满足
\[Tu_{m+1}\ne 0,\cdots,Tu_n\ne 0. \]现证明\(Tu_{m+1},\cdots,Tu_n\)是线性无关的，即
\[a_{m+1}Tu_{m+1}+\cdots+a_nTu_n=T\left(\sum_{j={m+1}}^{n} a_ju_{j} \right), \]所以\(\sum_{j=m+1}^{n}a_ju_j\in\mathrm{null}T\)，即
\[\sum_{j=m+1}^n a_ju_j=\sum_{k=1}^m b_ku_k, \]移项得到\(a_{m+1}=\cdots=a_n=0\)（由于\(u_1,\cdots,u_n\)是\(\mathrm{null}(ST)\)的基），所以线性无关性得证。又因为\(\mathrm{null}S\)中线性无关组的长度中小于张成组的长度，所以
\[\dim S\ge n-m,\\ \dim\mathrm{null}(ST)=n=n-m+m\le \dim\mathrm{null}S+\dim\mathrm{null}T. \]
第四题（3.B 26、27）
1、设\(D\in\mathcal L(\mathcal P(\mathbb{R}),\mathcal P(\mathbb{R}))\)使得对每个非常数多项式\(p\in\mathcal P(\mathbb{R})\)均有\(\mathrm{deg}(Dp)=(\mathrm{deg}p)-1\)，这里\(\mathrm{deg}\)指的是多项式的次数，证明\(D\)是满射。
2、设\(p\in\mathcal P(\mathbb{R})\)，证明存在多项式\(q\in\mathcal P(\mathbb{R})\)使得
这题本质上和线性方程组是一样的，但由于笔记中对线性方程组的介绍很少，因此将这个例题摘录于此。第二问中的微分算子其实就是第一问中\(D\)的一种显式，可以看作1中结论的直接应用。另外，看到多项式时，应当考虑多项式空间的自然基，本题的主要问题是无限维向量空间的处理。
1、由题意，\(\forall n\)，
\[\mathrm{deg}Dx^{n+1}=n, \]显然由于\(Dx,Dx^2,\cdots\)的次数不同，它们是线性无关的，对任何一个给定的\(j\)，
\[\mathrm{span}(Dx,Dx^2,\cdots,Dx^{j+1})=\mathrm{span}(1,x,\cdots,x^j), \]因此令\(j\to \infty\)，有
\[\mathrm{span}(Dx,Dx^2,Dx^3,\cdots)=\mathrm{span}(1,x,x^2,\cdots)=\mathcal P(\mathbb{R}),\\ \mathcal P(\mathbb{R})\subset \mathrm{range}D. \]又因为对任何多项式\(p\)，\(Dp\)仍是一个多项式，所以
\[\mathrm{range}D\subset \mathcal P(\mathbb{R}), \]即\(\mathrm{range}D=\mathcal P(\mathbb{R})\)，也就是\(D\)是满射。
2、定义降次算子为\(Dp=3p'+5p''\)，则由1，\(D\)是满的，所以\(\forall q\in\mathcal P(\mathbb{R})\)，必定存在一个\(p\)，使得
\[Dp=5p''+3p'=q. \]
