随笔分类 -  算法

[整理]多项式多点求值/快速插值
摘要：0.多点求值 描述：给定 \(n\) 阶多项式 \(f(x)\)，求其 \(m\) 个点值 \(f(a_1),\dots,f(a_m)\)。 乍一看这个东西似乎是不太可做的，我们先考虑如何缩小问题规模也就是多项式阶数。 根据因式定理我们知道一个被 \((x-a)\) 整除的多项式在 \(a\) 处的 阅读全文
posted @ 2021-12-14 17:22 ajthreac 阅读(717) 评论(0) 推荐(0)
[整理]LGV 引理
摘要：全称是 Lindström-Gessel-Viennot 引理，用于求解 DAG 不相交路径问题。 设起点集合为 \(A=\{a_i\}\)，终点集合为 \(B=\{b_i\}\)，一条路径的权值 \(w(P)\) 是路径上所有边权之积。（这个边权是交换环就行，例如生成函数） 设对于一个起点 \(a 阅读全文
posted @ 2021-11-09 21:42 ajthreac 阅读(389) 评论(0) 推荐(0)
[整理]min_25 筛
摘要：大概是一种牛逼的筛法，本质思想是 dp。 方便起见先规定本文的一些符号： \(p_i\) 表示第 \(i\) 个质数，\(p\) 表示任意一个质数； \(\text{P}\) 表示全体质数； \(\min_i\) 表示 \(i\) 的最小质因数。 现在我们要求一个积性函数 \(f\) 的前缀和，这个 阅读全文
posted @ 2021-11-06 22:15 ajthreac 阅读(69) 评论(0) 推荐(0)
[整理]一类有趣的问题——dp 套 dp
摘要：dp 套 dp 是怎么回事呢？dp 相信大家都很熟悉，但是 dp 套 dp 是怎么回事呢，下面就让小编带大家一起了解吧。dp 套 dp，其实就是把内层 dp 的结果作为外层 dp 的状态，大家可能会很惊讶 dp 怎么会套 dp 呢？但事实就是这样，小编也感到非常惊讶。这就是关于 dp 套 dp 的事 阅读全文
posted @ 2021-10-29 10:58 ajthreac 阅读(242) 评论(0) 推荐(0)
[题解][洛谷P6192]【模板】最小斯坦纳树
摘要：斯坦纳树是一棵连接给定点集的树，其中边不一定在这些点里面连。 可以使用 dp，设 \(f_{i,S}\) 表示 钦定 \(i\) 为根，连接了集合 \(S\) 的最小代价，转移分两种情况： \(i\) 度数为 \(1\)，可以转移到和它相连的点 \(j\)； \(i\) 度数不为 \(1\)，可以由 阅读全文
posted @ 2021-10-11 10:26 ajthreac 阅读(89) 评论(0) 推荐(0)
[整理]支 配 树
摘要：感觉天天做题智商并没有提高，于是颓废之余瞎学点东西。 不保证对除我自己之外的任何人易懂。 0.一些定义 为了方便叙述，以下涉及到节点大小比较的地方无特殊说明则直接用节点编号代替 \(\text{dfn}\)（DFS 树上的时间戳）。 在一个从给定起点出发能到达任意一个点的有向图上，一个点 \(i\) 阅读全文
posted @ 2021-09-08 19:01 ajthreac 阅读(83) 评论(0) 推荐(0)
[瞎搞]Beta 函数闲谈
摘要：ajthreac 又来学没用的东西了 屑 ajthreac 并没有系统地学习过数学分析，仅仅是因为看到有题可以用它优化而学习，以下的一些证明很有可能是瞎扯 Beta 函数是与第二类欧拉积分 Gamma 函数齐名的第一类欧拉积分。 Beta 函数的定义：\(\Beta(p,q)=\int_0^1x^{ 阅读全文
posted @ 2021-09-01 19:57 ajthreac 阅读(1068) 评论(0) 推荐(0)
[整理]插头 dp
摘要：全名是基于连通性状态压缩的动态规划问题，从这个名字可以看出它的特征：是状压 dp（废话）、维护的是连通性。 怎么理解呢？接下来以洛谷模板题为例讲解它的维护方法。 考虑如何维护一条轮廓线，我们需要引入插头的概念：一个格子的插头是指它可以连出去的某条边（或者理解为让轮廓线插♂进来的地方）。对于这题我们应 阅读全文
posted @ 2021-06-27 20:04 ajthreac 阅读(427) 评论(0) 推荐(2)
[整理]莫队二次离线
摘要：莫队二次离线用于处理移动区间端点时复杂度过大的问题。 以扩展区间 \([l,r]\) 到 \([l,r+1]\) 为例，设多出的贡献为 \(f(r+1,[l,r])\)，这个贡献必须是可以差分成 \(f(r+1,[1,r])-f(r+1,[1,l-1])\) 形式的。 到这里你当然可以把它们直接全部 阅读全文
posted @ 2021-06-25 19:57 ajthreac 阅读(257) 评论(0) 推荐(3)
[整理]概率生成函数（PGF）学习笔记
摘要：0.前言 上周刷 GF 题的时候看到了这个东西，感觉好麻烦就懒得做，结果集训出到了硬币游戏加强版就 GG 了…… 所以突击了一下知识点，㗅整理在这里。 1.[CTSC2006]歌唱王国 我们先来简单介绍一下 PGF，其实它是一种特殊的 OGF，只不过系数是一个概率：对于离散随机变量 \(X\)，它的 阅读全文
posted @ 2021-06-05 21:08 ajthreac 阅读(1245) 评论(0) 推荐(4)
[整理]弦图学习笔记
摘要：0.前言 由于机房巨神都学了这玩意，以前也没接触过这些科技，于是决定拿出一晚上搞（颓）一搞（颓）。 基本上是照着 OI Wiki 学的，有的证明会比较感性甚至懒得证。 1.图论基础 一些简单的定义不放了，可以参照《组合数学》（冯荣权，宋春伟）第七章图论。 定理 \(1.0\) 设最小团覆盖数为 \( 阅读全文
posted @ 2021-04-26 21:30 ajthreac 阅读(652) 评论(0) 推荐(1)
[整理]Pólya 定理入门到入土
摘要：0.闲扯 请注意，Pólya 是匈牙利数学家，请尽量不要漏掉 ó 上的长音符写成 Polya （Polay 就更不行了）。 1.前置知识 参见《抽象代数 I》 为了照顾不了解的同学，我们从最基础的定义开始。 1.0 群论简介 已知一个集合 \(G\) 和定义在 \(G\) 上的运算 \(\circ\ 阅读全文
posted @ 2021-04-12 21:30 ajthreac 阅读(1256) 评论(2) 推荐(1)
[整理]网络流随记——终（有关网络流的一些杂项）
摘要：0.前言 我之前写过三篇共一系列的网络流随记，如果有没看过的同学可以先去看一下。 但是自己在做各种网络流题时又发现了一些没有写进前三篇博客里的知识点，在此做一个简单的整理~~（真的仅仅是整理，有些十分奇妙的做法我也不会证）~~。 1.上下界网络流 普通的最大流是相当于给出了一个流量上界，那么现在我们 阅读全文
posted @ 2021-03-26 20:10 ajthreac 阅读(100) 评论(0) 推荐(1)
[整理][持续更新]多项式知识点大全（超简洁！）
摘要：前言 多项式博大精深啊……个人整理了一个易于背诵的简化版，如果想看详细证明请另寻资源（ 日后可能会再开一个代码详解，用于帮助和我一样理解不了还背不过的人（ 更新大致跟随真实学习进度，如果咕咕咕了也很正常（ 约定 给定多项式$F(x)=\sum\limits_{k=0}n a_kxk$，非必要时会省略 阅读全文
posted @ 2021-03-08 19:27 ajthreac 阅读(697) 评论(2) 推荐(1)
[整理]FFT（快速傅里叶变换）随记
摘要：0.前言 本文对信息学竞赛中的 FFT 算法及其推导作出一点粗浅的探讨，希望能够帮到大家一点点。 另：作者默认大家已经有了一些高中数学基础，对于课本内基础知识部分可能会涉及较少。建议初中生先学完有关三角函数、复数、向量的部分之后再来学习 FFT 。 1.前置知识 多项式 形如$A(x)=\sum_{ 阅读全文
posted @ 2021-01-09 20:22 ajthreac 阅读(613) 评论(2) 推荐(2)
[整理]网络流随记——下（应用举例）
摘要：前篇：最大流 中篇：费用流 \(\color{red}{Tips:Please\ read\ the\ above\ two\ articles\ first!}\) 0.概述 之前我们提到过，网络流的难点在于建模，所以本篇文章主要对网络流的各种奇奇怪怪的建模方式做一些粗浅的探讨，请确保你对网络流基 阅读全文
posted @ 2021-01-07 17:21 ajthreac 阅读(231) 评论(2) 推荐(2)
[整理]网络流随记——中（费用流）
摘要：前篇：最大流 0.概述 我们在之前已经探讨了网络最大流的定义、两种求法及应用，如果有不了解的同学可以翻阅我之前的博客。 而费用流（最小费用最大流）与普通最大流的区别就是它在每条边上加了一个单位流量的费用，需要在满足最大流的同时满足费用最小。 百度百科（比最大流还不像人话，建议跳过） 费用流的应用比最 阅读全文
posted @ 2020-12-27 09:45 ajthreac 阅读(936) 评论(0) 推荐(1)
[整理]网络流随记——上（最大流）
摘要：0.概述 我第一次听到网络流这个名词的时候觉得它会很高深，实际上学了之后还是很好理解的。 百度百科（看看就好，没几句人话） 最大流的概念直接看定义不好理解，我们来从一个实例引入： 如图，$S$可以看成是一个水库（称作源点），有无限多的水，$T$可以看成是废水收集站（汇点），可以收集无限多的水。中间的 阅读全文
posted @ 2020-12-20 11:26 ajthreac 阅读(236) 评论(2) 推荐(2)
[整理]矩阵加速总结
摘要：0.前言 矩阵加速是一种在 OI 中常用的 trick ，经常用于优化部分递推式简单且固定的 dp 式子。 另外，确保你在阅读之前对线性代数有一定的了解。 1.前置知识 矩阵是一个二维数表，可以进行加减乘等运算，并且有一些特殊的性质。 矩阵加法很简单，直接将对应位置加起来即可，此处不再赘述（而且接下 阅读全文
posted @ 2020-12-11 15:06 ajthreac 阅读(2228) 评论(0) 推荐(2)