[整理]概率生成函数（PGF）学习笔记

0.前言

上周刷 GF 题的时候看到了这个东西，感觉好麻烦就懒得做，结果集训出到了硬币游戏加强版就 GG 了……
所以突击了一下知识点，㗅整理在这里。

1.[CTSC2006]歌唱王国

我们先来简单介绍一下 PGF，其实它是一种特殊的 OGF，只不过系数是一个概率：对于离散随机变量 \(X\)，它的 PGF 为 \(\sum\limits_{i=0}^{\infty}P(X=i)x^i\)。
然后就可以一眼看出它有一些平凡的性质，比如带入 \(x=1\) 会得到 \(1\) 或者求导得到期望的 OGF 之类的。
做 PGF 题的常用套路是设两个：\(F(x)\) 表示在第某个数字结束的概率，\(G(x)\) 表示在某个数字未结束的概率。
那么对于这题我们容易发现 \(xG(x)+1=F(x)+G(x)\)，这是因为新加一个数字游戏可能结束也可能未结束。
我们还可以强制让它结束：\(G(x)\left(\dfrac1nx\right)^m=\sum\limits_{i=1}^m[pre_i=suf_i]F(x)\left(\dfrac1nx\right)^{m-i}\)，这个式子看起来很恐怖，但它的意义是很明显的。
我们现在强制让它结束，那么有可能还没加到 \(m\) 长度就提前结束了，假设加到第 \(i\) 个位置结束，容易发现 \(pre_i\) 一定是一个 border，然后把没加的补上去。

对于这个题要求歌唱时间的期望，我们求导得到 \(F'(1)=G(1)\)，再对第二个式子化简得 \(G(1)=\sum\limits_{i=1}^m[pre_i=suf_i]F(1)n^i\)，然后就可以直接算了。

2.[SDOI2017]硬币游戏

我们直接加强上一题，现在有多个名字，求概率。
为了方便我们设 \(P(S)\) 是一个串 \(S\) 出现的概率。
仿照上例，我们有 \(xG(x)+1=\sum F_i(x)+G(x)\) 和 \(G(x)P(S_i)x^m=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^m[pre_{i,k}=suf_{j,k}]F_j(x)P(S_i[k+1,m])x^{m-k}\)。
然后代入得 \(G(1)=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^m[pre_{i,k}=suf_{j,k}]F_j(1)\dfrac1{P(S_i[1,k])}\)，我们发现这是一个跟 \(F_i(1)\) 和 \(G(1)\) 有关的 \(n+1\) 元一次方程……欸等等，\(n\) 个 \(n+1\) 元好像解不了啊？
但是别忘了概率的基本性质，就是 \(\sum F_i(1)=1\)，这样就可以直接解方程了。
原题只有两种颜色，是弱化版。

3.没了

好水啊……似乎也没有什么别的例题了……