浅谈并查集

基础

一般的并查集有两个基本操作：

• 合并两个集合；
• 查询某个节点的祖宗节点。

并查集的两个优化：

• 路径压缩，即 find 函数，可以优化到小常数的 \(O(\log n)\)；
• 按秩合并，即如果要合并两个集合的话，那么将节点个数较小的那个合并到节点个数较大的那个，可以优化到 \(O(\log n)\)。

如果两个优化都加，那么可以优化到 \(O(\alpha(n))\)。\(\alpha(x)\) 为反阿克曼函数，增长极为缓慢，对于在实际问题中有意义的 \(x\) 来说，\(\alpha(x)\le 4\)，所以可以看成 \(O(1)\)。具体范围：当 \(\alpha(n)=4\) 时，\(n\approx 10^{19728}\)。

并查集的两个扩展：

• 记录每个集合大小，绑定到根节点上；
• 记录每个点到根节点的距离，绑定到每一个点上。

模板

题目。

这里只采用路径压缩，因为按秩合并难写。

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define mems(a,b) memset(a,b,sizeof a)
using namespace std;
const int N=200010;
int n,m;
int p[N];
int find(int x){//查询祖宗节点
	if(p[x]!=x) p[x]=find(p[x]);//路径压缩
	return p[x];
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;//初始化
	while(m--){
		int z,x,y;
		scanf("%d%d%d",&z,&x,&y);
		int px=find(x),py=find(y);
		if(z==1) p[px]=py;//合并
		else if(px==py) puts("Y");//在一个集合里
		else puts("N");//不在一个集合里
	}
	return 0;
}

例题

原题，转存。

通过分析，我们可以看出，如果这条边连接后形成了环，那么这条边连接的两个点原先一定连通，因为题目中没有重边。所以我们就可以使用并查集：判断两个点是不是在一个集合里，如果是，那么在这一步形成环；否则将两个点合并为一个集合。

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define mems(a,b) memset(a,b,sizeof a)
using namespace std;
const int N=114514;
int n,m;
int p[N];
int ans=0;
int find(int x){
	if(p[x]!=x) p[x]=find(p[x]);
	return p[x];
}
int get(int x,int y){//二维转一维
	return (x-1)*n+y;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL);
	cout.tie(NULL);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n*n;i++) p[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y;
		char d;
		cin>>x>>y>>d;
		int a=get(x,y);
		int b;
		if(d=='D') b=get(x+1,y);
		else b=get(x,y+1);
		int pa=find(a),pb=find(b);
		if(pa==pb){
			ans=i;
			break;
		}
		p[pa]=pb;
	}
	if(ans!=0) cout<<ans;
	else cout<<"draw";
	return 0;
}