羲和树

简介

析合树是用于处理序列上一类特定结构的数据结构与思想。

这类结构可能具有如下特征：

• 要么包含，要么不交。

• 下标和值域的连续性。

如果有题目出现了上述两点特征，就可以往析合树的想法上靠。

概念

段

对于一个 \(n\) 阶排列 \(p\)，定义其中的一个段为 \(p\) 的一个非空区间 \([l,r]\)，满足 \(p_l \sim p_r\) 所组成的集合在值域上是连续的。

若一个段 \(A\) 满足：不存在其余任何一个段 \(B\)，使得 \(B\) 与 \(A\) 有交且不包含。那么称 \(A\) 为排列 \(p\) 的本原（神）连续段。

任意一个长度 \(>1\) 的本原连续段都可以被划分为若干个不交的本原连续段。

所有的本原连续段显然构成了一棵树的结构，这就是所谓的析合树。

合点

在析合树上，若一个节点的所有儿子是有序的，那么我们称这个点是合点。

这里的有序只考虑儿子与儿子之间的相对顺序，而不考虑单个儿子内部的顺序。

例如区间 \([1,5]\) 是一个本源连续段，其值域也为 \([1,5]\)，它能够被划分为 \([1,1],[2,4],[5,5]\) 值域也分别为 \([1,1],[2,4],[5,5]\)，那么他就是一个合点。

无论儿子 \([2,4]\) 内部的排列是 \(\{4,3,2\}\) 还是 \(\{3,4,2\}\) 都与 \([1,5]\) 是否为合点无关。

显然，若一个点仅有两个儿子，则其必为合点。

析点

同理，若一个点的儿子无序，则该点为析点。

特别地，我们钦定叶子节点是析点。

建立

段的判定

考虑如下过程：从左到右枚举右端点 \(r\)，需要实时维护出有哪些左端点 \(l\)，使得 \([l,r]\) 是一个段。

区间 \([l,r]\) 是段的充要条件可以写作 \(r-l=\max_{i=l}^r p_i - \min_{i=l}^r p_i\)。

维护以当前右端点为结尾的每个后缀的极值是单调栈的经典运用。

因为显然有 \(\max_{i=l}^r p_i - \min_{i=l}^r p_i+l \geq r\)，令 \(f(l)=\max_{i=l}^r p_i - \min_{i=l}^r p_i+l\)，我们只需要用线段树维护 \(f\) 的最小值即可。

过程

维护三个栈，其中两个用于计算最值，令一个用来存储当前还没有父节点的段的信息。

从左到右扫描，设当前在点 \(r\)，维护 \(now\) 表示当前要处理的段，初始设为 \([r,r]\)。

然后在线段树上查找最小的 \(l\)，使得 \([l,r]\) 是一个段。

接下来进行构造：

下面所指的合并只要求整体是段即可，而拼接还要求有序。

• 若栈顶的点是合点，并且其顺序能与 \(now\) 拼接，那么就把 \(now\) 拼接在栈顶段上，并更新 \(now\) 为栈顶段，弹出栈顶。

• 否则判断栈顶点能否与 \(now\) 合并，如果可以就弹出栈顶，新建一个合点，把 \(now\) 设为这个合点。

• 再否则就一直弹栈，直到整体能够合并，新建一个析点，把 \(now\) 设为这个析点。

重复以上判断，直到栈顶的左端点是 \(<l\) 就停止。

最后把 \(now\) 加入栈。

注意，析合树的点数是 \(2n\) 的，数组大小需开两倍。

例题

\(\text{Intrinsic Interval}\)

考虑先建出析合树。

一个合点的儿子要么是析点，要么是反方向的合点。

所以对于查询 \([x,y]\)，直接找到 \(x\) 和 \(y\) 的 \(\text{LCA}\)，若其为析点，则答案就是 \(\text{LCA}\)。

否则就是 \(x\) 和 \(y\) 所对应的两个儿子的区间。

\(\text{Good Subsegments}\)

建出析合树后，考虑 \(x\) 和 \(y\) 到 \(\text{LCA}\) 的链。

对于链上的合点，记其完全被包含在询问区间内的儿子个数为 \(c\)，则其贡献的方案数为 \(\binom c 2\)，还要再加上这些儿子各自内部的所有贡献。

若为析点，则只需要加上儿子贡献即可，如果完全包含该析点要额外 \(+1\)。

这道题还有更好想的历史和线段树做法。