历史和线段树

前言

历史和线段树本质上就是新增了一些 \(\text{Tag}\) 的普通线段树，因其常常能够用于解决一类问题，所以被专门列出。

历史和线段树有着非常多不同的写法，在不同的题目上使用不同的写法可以大大减少编码难度。

本文主要从不同的角度去理解其作用和不同实现的适用范围。

这里是 \(\text{Deepseek}\) 整理的各种线段树学习笔记。

二维平面与时间轴

考虑如下问题：

有一个 \(n\times n\) 的二维平面，先进行 \(m\) 次矩形加操作，所有操作结束后，进行 \(q\) 次查询矩形和。

考虑对 \(x\) 坐标扫描线，于是先将所有的修改和查询进行差分，使得所有修改的右边界均为 \(n\)，所有查询的左边界均为 \(1\)。

对于同一个 \(y\) 坐标，位于 \(x_c\) 的 \(+w\) 修改对位于 \(x_q\) 的询问所产生的贡献是 \((x_q-x_c+1)\times w\)。

拆开可得 \((x_q) \times w-(x_c-1) \times w\)，那么对两部分分开维护，线段树维护扫描线上每个区间的 \(\sum x_q \times w\) 和 \(\sum w\) 即可。

于是可以做到 \(O(n\log_2 n)\)。

“历史”的含义

上述问题可以将 \(x\) 轴看作是时间轴，\(y\) 轴看作是需要维护的一个序列 \(a\)。

那么查询就是求序列上一个区间，之前所有历史版本的和，即：

\[\sum_{\text{version}} \sum_{i=l}^r a_i \]

其实就是模板题。

查询与修改交替的情形

本质上是再添加了一维操作顺序（这里和上文的时间轴是两个不同的概念），从原本的二维问题变成三维问题。

对操作顺序使用 \(\text{CDQ}\) 分治，每次考虑左边的修改对右边询问的贡献，套用历史和线段树的做法即可，不难做到 \(O(n\log_2^2 n)\)。

更一般的情况

容易发现，上面的维护方法强依赖于两个特点：

• 修改只有加法。

• 每次修改都会新建版本。

如果不符合这两个特点，就无法写出贡献式子，从而也无法像模板题那样简单的维护。

考虑维护一个序列，操作有三种：

1. 区间加法。

2. 新建版本，并继承原版本的值。

3. 求区间历史和。

这种更一般的情况，需要我们在线段树上额外维护一个历史和 his 和更新历史和的次数和权值懒标记 t、lazh。

sum 表示区间和，lazp 表示加法懒标记。

每次区间 \(+w\)：sum+=(r-l+1)*w,lazp+=w

每次更新历史和：his+=sum,lazh+=lazp,t++

每次 pushdown：sum'+=lazp*(r-l+1),his'+=t*sum+lazh*(r-l+1),t'+=t,lazp'+=lazp,lazh'+=lazh

矩阵形式

线段树上每个节点存行向量：

\begin{bmatrix}
\text{len} & \text{sum} & \text{his}
\end{bmatrix}

每次做区间加 \(w\) 等价于乘矩阵：

\[\begin{bmatrix} 1 & w & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

每次更新版本并统计历史和等价于乘矩阵：

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

那么直接把所有标记写成矩阵形式就可以维护历史和了，无需再去讨论复杂的 \(\text{Lazytag}\) 下放顺序，理解起来也会更容易。

但代价是常数非常大，在某些题目上可能无法通过。

当维护信息非常复杂时，可以先写成矩阵形式，如果要优化常数，再把矩乘展开对每一项进行维护即可，本质和直接加 \(\text{Tag}\) 一样。

\(\text{Tag}\) 更新顺序的本质

例题

主要记录一些对奇怪的东西做历史和的题目。

题目特征

不难发现，很多要用历史和的题目，其查询方式都是“矩形查询”、“一个区间的所有子区间”。

所以如果有这类关键词出现，可以考虑用历史和线段树维护。