闲话 25.6.20

闲话

aaaaaaaa明天考完最后一科放假aaaaaaaa
暑假生活我来啦！！！！！！！！

推歌：
ANGELIC by ヰ世界情緒, 香椎モイミ;
機械の声 by V.W.P × V.I.P;
将逃离只有你一人的黄昏 by 及時作夢 ft. 诗岸;
无夏之城 by 小夏Elin et al.;
理想主义患者 by 北极星Polaris_D et al.;
Cake by 雄之助 feat. 初音ミク .

小周严选！！！去听！！！

由此可以看出，大学生活是会降低人的智商的。你看这个人都用一大堆标点符号了。

upd: 每日一泵：

from CF582D or Binominal。

如何将提取一行转变成提取对角线？

喜欢提取对角线的小朋友们你们好啊，我是对角线奶龙(?)
没错，这个方法又一次得到应用了（
别再提取对角线了说是

给定 \(n\)，对一行 \(0 \le k \le n\)计算

\[a_k = \sum_{i = 0}^{k - 1} \binom{2n - 2i - 1}{k - i - 1} \dfrac{i}{2^{n - i}} \]

转化自一道名叫 闺泣 的模拟赛题，那道题单次询问的瓶颈在计算 \(a_k + a_{k + 1}\)。

先把 \(2^{-n}\) 拿出来，我们只考虑剩下的部分。正攻！

\[\begin{aligned} a_k &= \sum_{i = 0}^{k - 1} \binom{2n - 2i - 1}{k - i - 1} i 2^i \\&= \sum_{i = 0}^{k - 1} [x^{k - i - 1}] \dfrac{i 2^i}{(1 - x)^{2n - k - i + 1}} \\&= [x^{k - 1}] \dfrac{1}{(1 - x)^{2n - k + 1}} \sum_{i = 0}^{k - 1} i \left[2x(1-x)\right]^i \\&= [x^{k}] x\frac{[2 kx (1-x) -k-2x (1-x)] [2x(1-x)]^k+2x (1-x) }{(1 - x)^{2n - k + 1}(1 - 2x(1-x))^2} \\&= [x^k y^k] x \sum_{k \ge 0} \frac{[2kx(1-x)-k-2x(1-x)] [2x(1-x)]^k+2x (1-x) }{(1 - x)^{2n - k + 1}(1 - 2x(1-x))^2} y^k \\&= [x^k y^k] \frac{2 x^2 y^2 (1-x)^{2}}{(1-y(1-x)) \left(1-2 (x-1)^2 x y\right)^2(1-x)^{2n}} \end{aligned} \]

然后就是不动脑子环节咯！令上面被提(rapture?)函数为 \(F(x, y)\)，只需要考虑

\[F(s,z/s)/s = \frac{2 z^2}{\left(1-2 (s-1)^2 z\right)^2 (s z+s-z)(1-s)^{2n-2}} \]

它 \(\to 0\) 的奇点只有 \(s = \alpha(z) = z/(1+z)\)，从而

\[a_k = [x^k y^k] F(x, y) = [z^k] \mathrm{Res}_s(F(s,z/s)/s,z/(1+z)) = [z^k] \dfrac{2z^2(1+z)^{2n + 1}}{(1+z^2)^2} \]

欸？好简单的形式！目前我不知道能不能从更简单的路径导出，但我猜应该可以，毕竟小周只是个笨蛋...。确实可以，果然小周是个笨蛋...。这个看上去就是 dfinite 的，能 \(O(n)\) 算一行。如果需要 \(a_{n + 1}\) 只需要按上面计算，然后修正 \(i = n\) 的项即可（吧）。

p.s. 你问我留数怎么算？只需要带入 \(s = s + z/(1+z)\) 化简得到

\[\frac{2 z^2 (z+1) (s z+s-1)^2 \left(-\frac{s z+s-1}{z+1}\right)^{-2 n}}{s \left(-2 s^2 (z+1)^2 z+4 s (z+1) z+z^2+1\right)^2} \]

再提取 \([s^{-1}]\) 就行了！说是提取，你就把分母的 \(s\) 删掉，再带入 \(s = 0\) 就解决了。

p.p.s. 如果 \(2\) 换成 \(a\)，我们就得到 \(a_k = [z^k]\dfrac{az^2(1+z)^{2n+1}}{(1 + (2-a)z + z^2)^2}\)。原来 \(2\) 这么特殊？？！

upd: 鱼鱼给了一种远简单的方法：

\[a_k = \sum_{i = 0}^{k - 1} [x^{k - i - 1}](1 + x)^{2n - 2i - 1} i 2^i = [x^{k - 1}] (1 + x)^{2n - 1} \sum_{i \ge 0} x^i (1 + x)^{-2i} i 2^i = [x^{k - 1}] (1 + x)^{2n - 1} \frac{2 x (x+1)^2}{\left(x^2+1\right)^2} \]

鱼鱼可爱捏！

upd2: 另例