Dr. Zhou

闲话 25.3.23

闲话

大豆老师太抽象了。
话说大豆老师的 gf 水平怎么那么低手，看到 sqrt 了还在想 bostanmori，是入脑也！！！

伟大的 HE B队 k8he 老师强烈谴责我在前年省选游记里没提到在火车站她借我充电宝用，所以在此提及。

the witness 挺好玩的，apj 严选。

推歌：肩上雪 by 有棵里里；匙ノ咒 by r906；昼寝 by 立入禁止。

更新了不代表我不休息了！（叉腰

对角线提取一例

from soytony，题意经过转化。

有一枚硬币，每次抛出得到正面的概率为 \(p\)，且任意两次抛独立。令 \(p_n\) 为抛 \(2n + 1\) 次，得到 \(\le n\) 次正面的概率，求 \(p_n\) 的生成函数 \(P(z)\)。

显然得到恰好 \(k\) 个正面的概率是 \([x^k] (1-p+px)^{2n + 1}\)，那么取前缀和就得到 \(p_n = [x^n] \dfrac{(1 - p + px)^{2n + 1}}{1 - x}\)。下面可以按照与愿望幽灵相同的处理手法做。

显然地，答案为

\[F(x, t) = \sum_{n \ge 0} \dfrac{(1 - p + px)^{2n + 1}}{1 - x} t^n = \dfrac{1 - p + px}{(1 - x)\left(1 - t(1 - p + px)^2\right)} \]

的对角线，即 \(p_n = [x^n t^n] F(x, t)\)。那么要算的 \(P(z)\) 即 \(F(s, z/s)/s\) 在以原点为中心的某个小圆盘内的奇点的留数之和。又

\[f(s) = F(s, z/s)/s = \frac{p (s-1)+1}{(s-1) \left(z (p (s-1)+1)^2-s\right)} \]

容易看出其奇点只有

\[s = 1, s = \alpha_{1,2}(z) = \frac{2 p^2 z-2 p z+1 \pm \sqrt{1-4 p z-4p^2z}}{2 p^2 z} \]

且验证知道只有

\[\alpha_1(z) = \frac{2 p^2 z-2 p z+1 - \sqrt{1-4 p z-4p^2z}}{2 p^2 z} \]

满足 \(\lvert z \rvert \to 0\) 时 \(\lvert \alpha(z) \rvert \to 0\)，因此

\[\begin{aligned} P(z) &= \text{Res}(f, \alpha_1(z)) \\ &= [(s - \alpha_1(z))^{-1}] f(s) \\ &= [s^{-1}] \frac{p (s + \alpha_1(z) - 1)+1}{p^2 z s(s + \alpha_1(z) - 1) (s + \alpha_1(z) - \alpha_2(z))} \\ &= [s^0] \frac{p (s + \alpha_1(z) - 1)+1}{p^2 z(s + \alpha_1(z) - 1) (s + \alpha_1(z) - \alpha_2(z))} \\ &= \frac{p (\alpha_1(z) - 1)+1}{p^2 z(\alpha_1(z) - 1) (\alpha_1(z) - \alpha_2(z))} \\ &= \dfrac{p - p\left(1 - 4 p z + 4 p^2 z\right)^{-1/2}}{1-2pz-\sqrt{1-4 p z-4p^2z}} \end{aligned} \]

显然是 dfinite 的，因此可以 \(O(\sqrt n \log n)\) 求 \(p_n\)，线性求前 \(n\) 项。

总结：不用动脑子的标准处理方法真好啊！

我觉得唯一需要动脑子的地方就是用留数定理之前，选择分母的零点的部分；而且这里也可以无脑的认为一个零点 \(a(z)\) 被选择 iff 在 \(\lvert z \rvert \to 0\) 时 \(\lvert a(z) \rvert \to 0\)！不严谨的证明可以参考 Kernel Method 的处理，严谨的证明我还不会，但我很注意到 \(F(0, 0)\) 必然收敛，而我们对 \(G\) 的要求甚至可以弱化到收敛半径是 \(0\)，那么限制就会放得很宽。至于严谨又具体的证明？谁管它呢！

upd：见此文末。

posted @ 2025-03-23 22:42  joke3579  阅读(280)  评论(8)    收藏  举报