2023.10.13 闲话

网红组合恒等式：

\[\sum_{k=0}^n(-1)^k\dbinom{2n-k}k2^{2n-2k}=2n+1 \]

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我也来蹭个热度！

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\[\begin{aligned}\mathrm{LHS}&=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\dbinom{n+k}{n-k}4^k\\&=[y^n]\dfrac1{1+y}[x^n]\sum_{n\ge0}\sum_{k=0}^n\dbinom{n+k}{n-k}4^k\cdot x^ny^k\\&=[x^ny^n]\dfrac1{1+y}\sum_{k\ge0}(4y)^k\sum_{n\ge k}\dbinom{n+k}{2k}x^n\\&=[x^ny^n]\dfrac1{1+y}\sum_{k\ge 0}(4y)^k\cdot\dfrac{x^k}{(1-x)^{2k+1}}\\&=[x^ny^n]\dfrac{(x-1)^2}{(1+y)(x^2-4xy-2x+1)}\\&\overset?=2n+1\\&=\mathrm{RHS}\end{aligned} \]

过程未经验证，\(\overset?=\) 那个位置我没有推导 . 整体思路应该没有什么大问题 .

upd. 好像有点小问题
upd. 好像有点大问题

交错和比普通和好算吗？

看了一眼 MathOverflow 上的回答，额，先不评价 .

小朋友们大家好！还记得我是谁吗？对了！我就是为小周配音的演员，老周！这天我来到了博客园，为小朋友们做现场的提取对角线表演，然后有个小朋友突然举手，老远就看到一束鲜花：「2023.10.13 闲话」，implicit 抱着我呀，非常高兴！

\[\begin{aligned} &\sum_{k = 0}^{n} (-1)^{n-k} \binom{n+k}{n-k} 4^k \\ = \ & \sum_{k = 0}^{n} (-1)^{n-k} [x^{n - k}](1 + x)^{n + k} 4^k \\ = \ & (-1)^n [x^n] (1 + x)^n \sum_{k = 0}^{n} [-4x(1-x)]^k \\ = \ & (-1)^n [x^n] (1 + x)^n \dfrac{1 - [-4x(1-x)]^{n + 1}}{1 + 4x(1 + x)} \\ = \ & (-1)^n [x^ny^n] \sum_{k \ge 0} (1 + x)^k \dfrac{1 - [-4x(1-x)]^{k + 1}}{1 + 4x(1 + x)} y^k \\ = \ & \frac{(-1)^n [x^ny^n]}{(1-y-xy) \left(4 x^3 y+8 x^2 y+4 x y+1\right)} \end{aligned}\]

然后典。

\[F(s,z/s)/s = \frac{1}{(s - z - sz) \left(1 + 4 (s+1)^2 z\right)} \]

根是 \(s = \frac{-2 z-\sqrt{-z}}{2 z},\frac{\sqrt{-z}-2 z}{2 z},-\frac{z}{z-1}\)，只有最后一个可以，那么带入 \(s = s - \frac{z}{z-1}\) 再乘以 \(s\) 带入 \(s = 0\)（求 res）即可得到

\[= (-1)^n [z^n] \frac{1-z}{(z+1)^2} = (-1)^n (-1)^n (1 + 2 n) = 2n + 1 \]