【讲义发布】2027届新高三卓越班暑期数学讨论班（讨论时间待定）

各位读者好：
由于新高三开学时间未知，本次讨论时间暂时无法确定，具体的推荐题目见下方。讲义题目和解析将在开学后印发，现将推荐题发布于此。

2027 届新高三卓越班暑期分享推荐讨论题

湛江第一中学 2026-2027 学年第一学期

最后更新时间： 2026 年 7 月 19 日

Ⅰ 思维训练

共 8 题，总分 100 分。以下习题注重基本功的考察，难度呈现一定的梯度。

1（10 分）

假定此时我们还没有定义三角函数。定义

\[f(x):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad g(x):=f'(x) \]

已知 \(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上良好定义且无穷阶可导（无需证明这一陈述）。证明

\[f(x)^2 + g(x)^2 = 1 \]

2（12 分）

在 \(\triangle ABC\) 中，\(\sin(B-A)=\dfrac{1}{4}\)，\(2a^2+c^2=2b^2\)，求 \(\sin C\)。

3（12 分）

在醋酸缓冲溶液中，记醋酸的电离平衡常数为 \(K\)，平衡时氢离子浓度为 \([H^{+}]\)。可推导出醋酸的摩尔分数为

\[x(HAc)=\frac{[H^+]}{[H^+]+K} \]

对于 \(x(HAc)\)-\(pH\) 的图像（其中 \(pH=-\lg [H^{+}]\)），请证明其为中心对称图形。

4（12 分）

甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币，若甲抛掷 \((n+1)\) 次，乙抛掷 \(n\) 次，其中 \(n \in \mathbb{N}\)。证明：甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率为与 \(n\) 无关的常值。

提示：对甲、乙前 \(n\) 次投掷结果讨论，考虑甲最后一次投掷对局势的影响，注意概率的对称性。

5（12 分）

给定平面上的一个椭圆 \(E\)，令 \(F\_1\) 和 \(F\_2\) 为其焦点，\(D\_1\) 和 \(D\_2\) 分别为长轴上的两顶点。

  1. （8 分）在椭圆 \(E\) 任取一点 \(P\)，使得 \(P,F\_1,F\_2\) 构成三角形。请证明下述光学性质：椭圆 \(E\) 在 \(P\) 点处的切线是 \(\triangle PF\_1F\_2\) 的外角平分线。
  2. （4 分）由椭圆上一点 \(A\_1\) 出发的一束光线，穿越线段 \(F\_1F\_2\) 上的某点后交 \(E\) 于点 \(A\_2\)，按照"反射角等于入射角"的规则完成反射，令反射光线交 \(E\) 于点 \(A\_3\)。如此一直反射，请证明对于任意的 \(n \in \mathbb{N}\)，每次反射生成的线段 \(A\_nA\_{n+1}\) 都与 \(F\_1F\_2\) 相交。

6（14 分）

在四棱锥 \(P-ABCD\) 中，\(\angle APB = \angle BPC = \angle CPD = \angle DPA = 60^\circ\)，且 \(\angle APC = \angle BPD\)，\(PB = PD\)，\(PA = \sqrt{6}\)，若该四棱锥存在半径为 \(1\) 的内切球，求 \(PC\) 的长。

提示：角度条件给出顶点 \(P\) 附近的高度对称性，可验证在射线 \(PA,PB,PC,PD\) 上能取与 \(P\) 等距的四点得到一个正四棱锥，那么可对一个"很大"的正四棱锥经过一些"操作"得到题中的四棱锥。

7（14 分）

取定一个实数 \(x\)，设数列 \(\\{a\_n\\}\) 的通项为 \(a\_n = \sin nx\)。

  1. （8 分）记 \(\\{a\_n\\}\) 前 \(n\) 项和为 \(S\_n\)。是否存在 \(M > 0\)，满足 \(\forall n \in \mathbb{N},\ S\_n \leq M\)？请论证你的判断。

    提示：可以考虑三角恒等变换中的和积转换，进行"裂项"操作。题干已约定 \(x\) 为常数。

  2. （6 分）（\(\boldsymbol{*}\)）取定 \(x = 1\)，\(\exists m \geq 0\) 使得 \(\forall n \in \mathbb{N},\ |a\_n| \geq m\)。求 \(m\) 的最大值。

8（14 分）

设函数 \(f(x):=x^3+ax^2+bx+c\)，其中 \(a,b,c \in \mathbb{Z}\)。

  1. （6 分）取定 \(x\_0=1+|a|+|b|+|c|\)，请证明当 \(|x| > x\_0\) 时，\(|f(x)|>|x|\)。
  2. （8 分）对于 \(n \in \mathbb{N}\_+\)，定义 \(f\_1(x):=f(x)\)，\(f\_{n+1}(x):=f(f\_n(x))\)。
    记集合 \(S\_f: = \\{x \in \mathbb{Q} : \exists n \in \mathbb{N}\_+ , f\_n(x)=x \\}\)。请证明 \(S\_f \subseteq \mathbb{Z}\)，且 \(S\_f\) 元素个数有限。

Ⅱ 知识拓展

共五大题。本组习题均具有一定的科普性和拓展性，尤其注重对定义及其边界的理解，供感兴趣的同学选做。其中标注 \(\boldsymbol{(*)}\) 的习题难度较大或与高考相关度较小。

A

在必修第六章，我们学习了向量的数量积（这也被称为"欧氏空间的标准内积"）。数量积的定义严格依赖于欧氏空间中的长度（度量）和角度。本题我们将考察抽象的线性空间，如果它具有内积结构，那么我们拥有讨论向量的长度和角度的权利。首先我们给出 \(\mathbb{R}\) 上线性空间的定义。

定义A.1
称 \(V\) 为 \(\mathbb{R}\) 上的线性空间，若可定义运算
(1)加法 \(\forall \boldsymbol u,\boldsymbol v\in V,\boldsymbol u+\boldsymbol v\in V\)；
(2)数乘 \(\forall \boldsymbol u\in V,k\in\mathbb{R},k\boldsymbol u\in V\)。
(3)\(\forall \boldsymbol u,\boldsymbol v,\boldsymbol w\in V,\forall k,l\in\mathbb{R}\) 满足下述八条运算公理：

  1. 加法交换律 \(\boldsymbol u+\boldsymbol v=\boldsymbol v+\boldsymbol u\)
  2. 加法结合律 \((\boldsymbol u+\boldsymbol v)+\boldsymbol w=\boldsymbol u+(\boldsymbol v+\boldsymbol w)\)
  3. 加法单位元 \(\exists \boldsymbol 0\in V,\boldsymbol u+\boldsymbol 0=\boldsymbol u\)
  4. 加法逆元 \(\exists -\boldsymbol u\in V,\boldsymbol u+(-\boldsymbol u)=\boldsymbol 0\)
  5. 分配律 \(k(\boldsymbol u+\boldsymbol v)=k\boldsymbol u+k\boldsymbol v\)
  6. 分配律 \((k+l)\boldsymbol u=k\boldsymbol u+l\boldsymbol u\)
  7. 数乘结合律 \(k(l\boldsymbol u)=(kl)\boldsymbol u\)
  8. 数乘单位元 \(1\cdot\boldsymbol u=\boldsymbol u\)

我们指出对于一般的线性空间不一定能讨论长度和角度。比如定义在 \([0,1]\) 上一元连续函数组成的集合 \(C[0,1]\)，可按定义A.1.验证这是一个线性空间（自行练习）。但我们无法定义两个连续函数之间的"距离"和"夹角"。下面我们给出 \(\mathbb{R}\) 上的线性空间中内积的定义。

定义A.2
设 \(V\) 是实数域上的线性空间，称在 \(V\) 上定义了一个内积，若存在某种规则，使对 \(V\) 中任意一组有序向量 \(\\{\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\beta\\}\)，都唯一地对应一个实数，记为 \(\langle\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\beta\rangle\)，且适合如下规则：

  1. 对称性：\(\langle\boldsymbol\beta, \boldsymbol\alpha\rangle = \langle\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\beta\rangle\)
  2. 第一变元线性：\(\langle\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta, \boldsymbol\gamma\rangle = \langle\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\gamma\rangle + \langle\boldsymbol\beta, \boldsymbol\gamma\rangle\)；\(\langle c\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\beta\rangle = c\langle\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\beta\rangle\)，\(c\) 为任一实数。
  3. 正定性：\(\langle\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\alpha\rangle \ge 0\) 且等号成立当且仅当 \(\boldsymbol\alpha = 0\)。

此时线性空间 \(V\) 也被称为实内积空间。下面我们对有限维数的实内积空间（欧氏空间）\(V\) 展开讨论。

  1. 令 \(\boldsymbol\alpha=(x\_1,x\_2,\cdots,x\_n)\)，\(\boldsymbol\beta=(y\_1,y\_2,\cdots,y\_n)\)，定义

\[\langle\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\beta\rangle:=x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n \]

请验证上述内积是良好定义的。这被称为 \(\mathbb{R}^n\) 的标准内积。

  1. 对任意 \(\boldsymbol\alpha \in V\)，定义 \(\boldsymbol\alpha\) 的长度 \(\|\boldsymbol\alpha\|:=\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha\rangle^\frac{1}{2}\)，容易验证其正定性[定义A.2.(3)]。此时称 \(\|\cdot\|\) 为由内积 \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) 诱导的范数。请进一步证明：
    1. 数乘性质：对任意 \(c \in \mathbb{R}\)，\(\|c\boldsymbol\alpha\|=|c|\|\boldsymbol\alpha\|\)。
    2. Cauchy-Schwarz不等式: \(|\langle\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\beta\rangle| \leq \|\boldsymbol\alpha\| \cdot \|\boldsymbol\beta\|\)
    3. 三角不等式：\(\|\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta\| \leq \|\boldsymbol\alpha\| + \|\boldsymbol\beta\|\)

注记：实线性空间 \(X\) 上一个满足如下条件的函数 \(\|\cdot\|\_X \colon X \to \mathbb{R},\ x \mapsto \|x\|\_X\)（当不会引起混淆时我们将省略下标，将它简记为 \(\|\cdot\|\)）被称为 \(X\) 上的一个范数，可以看作是欧氏向量模长的推广，满足正定性、数乘性质、三角不等式，不一定满足Cauchy-Schwarz不等式。

  1. 尝试给出 \(V\) 中两向量夹角的一个定义，并验证其良定性。

  2. 请证明实内积空间 \(V\) 中由内积 \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) 诱导的范数 \(\|\cdot\|\) 满足下述的平行四边形恒等式：

\[2\big(\|x\|^2+\|y\|^2\big)=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2,\quad \forall x,y\in V. \]

注记：此式几何含义十分清晰：平行四边形四条边长的平方和等于两条对角线长度的平方和。

  1. \(\boldsymbol{(*)}\) 假设 \((U,\|\cdot\|)\) 是一个赋范空间，且对于任意的 \(x,y\in U\) 上述平行四边形等式成立。请证明 \(U\) 上存在一个内积 \(\langle\cdot,\cdot\rangle\)，使得 \(\|\cdot\|\) 恰为由它诱导的范数。

提示：可以尝试直接写一个内积的可能的定义，然后加以论证。

B

称 \(f(x)\) 为区间 \(I\) 上的凸函数(Convex Function)，若任取 \([a,b]\subseteq I,\ t \in (0,1)\)，有

\[f(ta+(1-t)b) \leq tf(a) + (1-t)f(b) \]

上次讨论中我们介绍了可微凸函数的四种等价定义，并讨论了一些公切线问题，本题我们将进一步探讨区间 \(I\) 上凸函数 \(f(x)\) 的分析性质和代数性质。

定义B.1
\(V\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的线性空间，\(C \subset V\) 是子集。称 \(C\) 是凸集，若 \(\forall x,y \in C,\ t \in [0,1],\ tx+(1-t)y \in C\)，即 \(x\) 和 \(y\) 所连线段落在 \(C\) 中。

  1. 证明下述命题与凸函数的定义等价：集合

\[\Gamma_{\geq f}=\left\{(x,y)\,\big|\, x\in I,\; y\ge f(x)\right\} \]

（即 \(xOy\) 平面上函数图像上方的部分）是凸集。

定义B.2
称 \(x\_0\) 为 \(f(x)\) 的极小值点，若 \(\exists \delta > 0,\forall x \in (x\_0-\delta ,x\_0+\delta) \cap I ,\ f(x) \geq f(x\_0)\)。

  1. \(\boldsymbol{(*)}\) 证明凸函数的极小值点具有全局性：如果 \(x\_0 \in I\) 为凸函数 \(f(x)\) 的极小值点，那么它也是 \(f(x)\) 在 \(I\) 上的最小值点。

  2. 称一个一元函数为DC函数 (Difference of Convex)，若其可表示为两个凸函数之差。称所有凸函数组成的集合为凸函数空间，所有DC函数组成的集合为DC函数空间。
    凸函数空间、DC函数空间是否为线性空间？请论证你的判断。

C \(\boldsymbol{(*)}\)

续5.2.题，请进一步思考：令这一组反射线段构成一个序列。这一序列是否存在极限状态（即"收敛"到一个确定的状态）？请论证你的判断。

D

本题的目标是计算 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)。这是著名的 Basel 问题之初等做法，由 Euler 最先解决。

  1. 考虑复数的三角表示，证明

\[\sin((2n+1)x) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \mathrm{C}_{2n+1}^{2k+1} \cos^{2n-2k} x \cdot \sin^{2k+1} x,\quad \forall n \in \mathbb{N}. \]

  1. 考虑 \(n\) 次多项式 \(P(x) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \mathrm{C}_{2n+1}^{2k+1} x^{n-k}\)，证明

\[\sum_{k=1}^{n} \cot^2 \frac{k\pi}{2n+1} = \frac{n(2n-1)}{3},\quad \forall n \in \mathbb{N}. \]

  1. 证明 对 \(0 < x < \frac{\pi}{2}\) 有

\[\frac{1}{x^2} - 1 < \cot^2 x < \frac{1}{x^2}. \]

  1. \(\boldsymbol{(*)}\) 证明

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}. \]

E

设 \(\\{a\_n\\}\_{n=0}^{\infty}\) 是如下定义的数列

\[a_0 = a_1 = 1,\quad a_{n+1} = \frac{1}{n+1}\big(a_n + a_{n-1}\big),\quad \forall\, n \in \mathbb{Z}_+. \]

  1. 考虑数学归纳法，证明 \(\\{a\_n\\}\) 从 \(a\_2\) 起单调递减。
  2. 证明

\[a_{2027} < \frac{2^{2026} \times 1013!}{2027!}. \]

  1. \(\boldsymbol{(*)}\) 定义 \(\displaystyle f(x):=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n\)，\(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上任意阶可导（无需证明这一陈述）。求 \(f\) 的显式表达式。

提示：由 \(f(x)\) 的光滑性，对 \(f(x)\) 求导，再按递推关系，找到 \(f(x)\) 与 \(f'(x)\) 的关系。

posted @ 2026-07-19 22:21  epigraph  阅读(60)  评论(0)    收藏  举报