【讲义发布】多元凸函数的刻画与性质探究

【内容简介】本文档深入讨论了多元凸函数的刻画与性质探究，书上探究的是二阶可微的凸函数，此处研究的是更一般的凸函数——尝试研究其三观性并给出凸函数几种不同的等价刻画方式。
我们证明了开凸区域上凸函数的局部Lipchitz连续性，以及极小值的全局性。
同时，研究凸函数空间的代数结构是一个自然的想法，我们发现凸函数空间本身的代数结构很差（甚至不构成一个加法群），但是两个凸函数之差构成的空间（DC函数空间）是一个线性空间，而且是包含全体凸函数的最小线性空间（上学期期末考试我们指出DC函数空间中存在零点数无穷的函数，比如sin x ）。
我们依次给出一般的多元凸函数的几种等价刻画——命题1是Jensen定义、命题2是支撑超平面定义、命题3是“截线测试”定义（转化成一元凸函数）、命题4是上境图(epigraph)凸集定义。其中，Jensen定义和“截线测试”异曲同工，本质上是考虑割线与曲面的位置关系；而凸性保证了割线在曲面上方，即位于上境图中，这符合凸集的定义。因此容易证明1，3，4等价。命题2给出的支撑超平面暗示了“线性近似”的思想，因此一定程度上提醒我们关于一元凸函数的可微性。对凸性等价于支撑超平面存在的证明（4推2），我们类似于“正交投影”的思想给出一个引理，关键是单位球面的列紧性。凸函数不仅局部Lipchitz，我们还可以证明凸函数每个方向上的方向导数均存在，同时我们指出方向导数不一定给出支撑超平面；局部Lipchitz性蕴含了不可微点集零测，这是因为保证了局部的“振荡频率”有限。类比一元凸函数，我们猜想支撑超平面的唯一性等价于凸函数的可微性，证明过程的关键仍然是有界闭集的列紧性（这赋予我们抽取收敛子列的权利），而支撑超平面的唯一性保证了我们抽取的每一个收敛子列都有相同的极限，从而保证了可微性。
有趣的是，我们给出的命题5平均值定义，即某一点附近的平均值不小于该点处的函数值；直观上似乎也是一个等价刻画，然而这只是必要条件，我们可以举出二元调和函数的例子否定其充分性。，这是因为球面的形状限制省略了其他的信息，或许这需要给出一种更具形状之一般性的平均值刻画，留待笔者继续探索。最后笔者给了体现凸性的有趣的例子——重心的确定，以及增函数的重心偏移。
【提示】对于高中在读的同学，如果对凸函数的刻画与性质感兴趣，请先阅读【2026寒假高二讨论班讲义与解答】和【2026寒假高三讨论班讲义与解答】这两份阅读材料，这两份材料仅讨论足够光滑的一元凸函数，较为浅显易懂。而在阅读本文档前，请确保自己已经学过一些基本的数学分析知识（涵盖一元微分学、多元微分学）。
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