ABC 443 DEFG

D - Pawn Line

赛时是猜出来的，但感觉这道题还需要仔细回味一下，如何证明很重要。

这里直接搬其他博主的思路讲解了：zhihu

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E - Climbing Silver

官解用的是 dp，这里给一个容易理解还好写的做法：直接 bfs + 树状数组模拟整个过程，对每一列倒着维护墙数量的前缀和，在 bfs 过程中动态着删可以删除的墙，复杂度 \(O(n^{2}\log n)\)。具体实现见代码。

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F - Non-Increasing Number

考虑 \(dp\)。

状态定义：\(dp_{r,c}\)：在 \(\% n\) 意义下，得到余数为 \(r\)，且当前末尾数字是 \(c\)，数字的最小位数。

初始时没有任何数字， \(dp_{0,0} = 0\)。

状态转移：

\[dp_{(x*10+c')\% n,c'} \leftarrow dp_{x,c} + 1，c' \in [\max(1,c), 9] \]

由转移式可知，这类似于 \(bfs\)，因此我们可以直接用队列模拟整个 dp 转移过程，每次从队首弹出的状态值都是最小的（也就是位数最少）。发现当前状态的余数 \(r=0\) 时（\(\% n = 0\),说明是 \(n\) 的倍数），说明找到了最优解。

剩下的就是还原方案，记录整个 bfs 过程中的 dp 转移路径并回溯即可。若无解，则会搜索到所有可能的状态，而总状态数是 \(O(10*n)\) 的，仍然可以直接模拟。具体实现见代码。

summary: 像这种需要找到某个数的倍数作为答案的数位题，一般考虑用余数作为 dp 转移的状态。

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G - Another Mod of Linear Problem

需要用到类欧几里得算法，对本蒟蒻来说属实超纲了qwq。。。

那么剩下的问题就是如何在 \(n\) 很大时快速求：

\[\sum_{i=0}^{n} \lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor \]

类欧几里得算法：blog

模板：

typedef __int128 LL;
LL calc(LL a, LL b, LL c, LL n) {
	if(n < 0) return 0;
	if(a == 0) return (b / c) * (n + 1);
	LL n2 = n * (n + 1) / 2;
	if (a >= c || b >= c)
	  return calc(a % c, b % c, c, n) + (a / c) * n2 + (b / c) * (n + 1);
	LL m = (a * n + b) / c;
	if (m == 0) return 0;
	return m * n - calc(c, c - b - 1, a, m - 1);
}

ll Euclid_f(int a, int b, int c, int n){ // 为了避免 a, b 存在负数的情况，需要再套一层
	int ar = (a % c + c) % c;
	int aq = (a - ar) / c;
	int br = (b % c + c) % c;
	int bq = (b - br) / m;
	return 1ll * aq * (1ll * n * (n + 1) / 2) + 1ll * bq * (n + 1) + calc(ar, br, c, n);
}

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