Hello 2026 E（不等式放缩，数论+dp）

E. LCM is Legendary Counting Master

回顾题目：给定长度为 \(n\)，\(a_{i} \in [0, m]\) 的序列。现在要求填充序列中所有 \(a_{i}=0\) 的项，填充值的范围是 \([1, m]\)，使得序列 \(a\) 满足：

• 严格单调递增
• \(\frac{1}{lcm(a_{1},a_{2})} + \frac{1}{lcm(a_{2},a_{3})} + ... + \frac{1}{lcm(a_{n-1},a_{n})} + \frac{1}{lcm(a_{n},a_{1})} \geq 1\)

统计满足要求的序列个数，\(n,m \leq 3000\)。

显然需要对上面的不等式变形。我们都知道:

\[lcm(x, y) = \frac{x*y}{gcd(x, y)} \]

利用上式代换：

\[\frac{1}{lcm(a_{1},a_{2})} + \frac{1}{lcm(a_{2},a_{3})} + ... + \frac{1}{lcm(a_{n-1},a_{n})} + \frac{1}{lcm(a_{n},a_{1})} \]

\[= \frac{gcd(a_{1}, a_{2})}{a_{1}a_{2}} + \frac{gcd(a_{2}, a_{3})}{a_{2}a_{3}} + ... + \frac{gcd(a_{n-1}, a_{n})}{a_{n-1}a_{n}} + \frac{gcd(a_{n}, a_{1})}{a_{n}a_{1}} \]

由辗转相除法，不难得到 \(x<y\) 时下式成立：

\[gcd(x, y) \leq y - x \]

因此对上式进行不等式放缩：

\[\leq \frac{a_{2} - a_{1}}{a_{1}a_{2}} + \frac{a_{3} - a_{2}}{a_{2}a_{3}} + ... + \frac{a_{n} - a_{n-1}}{a_{n-1}a_{n}} + \frac{a_{n} - a_{1}}{a_{n}a_{1}} \]

\[= 2 (\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{n}}) \]

如果只是这样死板地变换，最终会得到原式 \(\leq 2 (\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{n}})\)，无法得到什么有用的结论。试想一下：如果 \(2 (\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{n}})\) 这一项变为 \(1\)，那么我们能得到什么结论？

很显然，由不等式放缩的数学证明得到的原式 \(\leq 1\) 与 题目要求的原式 \(\geq 1\) 结合起来，便要求了原式的值只能等于 \(1\)。并且当不等式取等时，所有的放缩条件也必须取等。这样的序列性质显然是更强的，便于我们去对序列计数。

尝试对不等式左侧的最后一项，也就是 \(\frac{gcd(a_{n}, a_{1})}{a_{n}a_{1}}\) 这一项作变换。这里变换成 \(\frac{a_{1}}{a_{n}a_{1}}\)（显然 \(gcd(a_{1},a_{n}) \leq a_{1}\) 也成立）：

原不等式放缩改为：

\[\leq \frac{a_{2} - a_{1}}{a_{1}a_{2}} + \frac{a_{3} - a_{2}}{a_{2}a_{3}} + ... + \frac{a_{n} - a_{n-1}}{a_{n-1}a_{n}} + \frac{a_{1}}{a_{n}a_{1}} \]

\[= (\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{2}}) + (\frac{1}{a_{2}} - \frac{1}{a_{3}}) + ... + (\frac{1}{a_{n-1}} - \frac{1}{a_{n}}) + \frac{1}{a_{n}} \]

\[= \frac{1}{a_{1}} \]

由于 \(a_{1} \geq 1\)，因此 \(\frac{1}{a_{1}} \leq 1\)，即若上述不等式 \(\leq 1\) 成立。根据上面的分析可知，原式的值只能等于 \(1\)，且原序列必须满足：

• \(a_{1} < a_{2} < ... < a_{n}\)（题目要求）
• \(a_{1} = 1\) （不等式只能取等）
• \(\forall i \in [1,n)，gcd(a_{i}, a_{i+1}) = a_{i+1} - a_{i}\) （每个不等式放缩都要取等）

不难证明上面的三个条件与原题目约束条件是充要的，因此问题转化成了满足上述三个条件的序列个数。

若 \(x < y\) 且 \(gcd(x, y) = y - x\)，则显然 \(y - x\) 是 \(x\) 的约数，也就是：\(d | x, y = x + d\)。因此转移时，只需要枚举 \(x\) 的约数。总复杂度 \(O(nm \ln m)\)，具体实现见代码。

code