ABC 431 F

F - Almost Sorted 2

原数组并不重要，可以先预处理出所有元素的桶。

要求的是原数组重排后的可行序列数量，我们不妨考虑插入每种元素，用乘法原理累计每次插入的方案数，即为最终答案。

不妨按照从小到大的顺序依次插入每种数，那么在插入元素 \(v\) 时，所有 \(< v\) 的元素已经在当前序列中。

考虑序列需要满足的条件：\(\forall i \in [1,n-1], B_{i+1} \geq B_{i} - D\)。对于这个限制条件，由于 \(D>0\) 且是按照升序插入数字的，我们需要注意到：考虑一个数是否可以插入到某个位置，只需要考虑这个位置后面的一个数就行了，而前面的数不会对其造成影响。考虑 \(v\) 可以插入到当前序列中的哪些位置：显然，只能插入到值 \(\geq v - D\) 的元素之前或者末尾，而这些位置的数量是可以利用前缀和 \(O(1)\) 算出来的，并且我们可能有多个元素 \(v\) 插入（假设共有 \(cnt_{v}\) 个 \(v\)）。可插入位置的数量为：

\[y =(\sum_{i=v-D}^{v-1} cnt_{i}) + 1 \]

（后面的 \(+1\) 是因为末尾位置一定是可插入的）

那么其实，插入的情形可以看作：在 \(y\) 个位置中插入 \(cnt_{v}\) 个相同的 \(v\)。根据隔板法，不难发现这个情形等价于：用隔板将 \(x = cnt_{v}\) 个小球（对应每个元素 \(v\)）分成 \(y\) 份（对应每个位置），每一份可空，方案数。即为：\(C_{x+y-1}^{y-1}\)，代入得到方案数为：

\[C_{(\sum_{i=v-D}^{v}cnt_{i})}^{cnt_{v}} \]

模拟每种数的插入，并用乘法原理累计每次插入的方案数即可。

code